問題2.2.19

以下の場合について、電荷から十分遠方における電位を求めよ。

1. 3個の点電荷$-q, 2q, -q$が間隔$d$で直線上に並んでいる場合。
2. 4個の点電荷$\pm q$が1辺$d$の正方形の角頂点に置かれている場合。隣り 合う電荷の符号は異なっているものとする。

===== 解答 =====

1. 2個の電気双極子 $\vec{p} = \mp q (0,0,d)$がそれぞれ $(0,0,d/2),(0,0,-d/2)$に置かれている場合を考えれ ば良い。
   $$\begin{eqnarray*} \phi(\vec{r}) &=& \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( -\frac... ...+\vec{p}\cdot (\vec{r}+ (0,0,d/2))(1-\frac{3dz/2}{r^2}) \right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   $d$について1次までとると、
   $$\begin{eqnarray*} \phi (\vec{r}) &=& \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 r^3} \left( \... ...rt\vec{p}\vert^2 - 3\frac{(\vec{p}\cdot\vec{r})^2}{r^2} \right) \end{eqnarray*}$$
   
   

2. 2個の双極子 $\vec{p} = \pm q(0,d,0)$がそれぞれ $(d/2, 0,0), (-d/2, 0,0)$ に置かれてると考えれば良い。
   $$\begin{eqnarray*} \phi(\vec{r}) &=& \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{... ...(\vec{r}-(-d/2,0,0))}{\vert\vec{r} - (-d/2,0,0)\vert^3}\right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   $d$について1次までとると、
   $$\begin{eqnarray*} \phi(\vec{r}) &=& \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 r^3} \left( \ve... ... \right) \\ &=& \frac{3qd^2}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{xy}{r^5} \end{eqnarray*}$$