デルタ（$\delta$）関数のラプラス変換

デルタ関数のラプラス変換について考察する。デルタ関数とは、

• $x \ne 0$ ならば$\delta(x)=0$ で、しかも $\int_{-\infty}^\infty \delta(x) dx = \int_{-\epsilon}^\epsilon \delta(x) dx =1$
• $\int_{-\infty}^\infty f(x) \delta(x) dx = f(0)$

となる関数のことである。また、以下の性質もある。

• $\delta(x) = \delta(-x)$
• $\delta(x^2 - a^2) = \frac{1}{2a}\left(\delta(x-a)+\delta(x+a)\right)$
• $\delta(ax) = \frac{1}{\vert a\vert}\delta(x)$ただし、$a \ne 0$
• $\delta(x) = \frac{d}{dx}\Theta(x)$ ただし$\Theta(x)$はステップ関 数
• $\int_{-\infty}^\infty f(x) \delta(x-a) dx = f(a)$

このような関数は実は「存在しない」ので^9.3、

$$\delta(x) = \lim_{n\rightarrow \infty} \varphi_n(x)$$

という極限で表現することにしよう。 よく使われる関数列は

$$\varphi_n(x) = \sqrt{\frac{n}{\pi}}e^{-nx^2}$$

である^9.4。ただし、$n$は自然数である。また、単位階段関数（ヘビサイト関数）

$$u(t) = \left\{ \begin{array}{ccc} 1 & ;& t>0 \\ \frac{1}{2}&;& t=0 \\ 0 & ; & t<0 \end{array}\right.$$ (9.9)

を使って、

$$\begin{eqnarray*} \delta(t) = \lim_{ w \rightarrow 0}\frac{1}{w}\left( u(t)-u(t-w)\right) \end{eqnarray*}$$

と表すこともできる。

$\delta$関数のラプラス変換が1になることは以下のように考えて理解する。

• 超関数的誘導
  $\mathcal{L}\left( \delta (t)\right)$の定義は $\int_0^\infty \delta(t)e^{-st}dt$ であるが、積分の下限を $0 \rightarrow -\epsilon$ (ただし、$\epsilon$は正の 微少量）と拡張すると、
  $$\begin{eqnarray*} \mathcal{L}\left( \delta (t)\right) = \int_{-\infty}^\infty \delta(t)e^{-st}dt = e^{-s \cdot 0} = 1 \end{eqnarray*}$$
  
  
  となる。

• $\varphi_n(t)$からの考察
  $\varphi_n(t)$のラプラス変換を行なう。ただし、積分範囲を $0 \rightarrow \infty$を $-\epsilon \rightarrow \infty$（ただし、 $\epsilon > 0$の微少量）とすると、
  $$\begin{eqnarray*} \int_{-\epsilon}^\infty \sqrt{\frac{n}{\pi}}e^{-n t^2}e^{-st }... ...s^2/4n} {\rm Erfc}\left(\frac{s - 2n\epsilon}{2\sqrt{n}}\right) \end{eqnarray*}$$
  
  
  となる。ここで、Erfcは相補誤差関数と呼ばれるものである。

  図 9.1: 相補誤差関数

  
  $n \rightarrow \infty$の極限をとると、図9.1 より $\mathcal{L}(\delta(t))=1$が理解できる。
• $$\lim_{ w \rightarrow 0}\frac{1}{w} \left( u(t)-u(t-w)\right)$$から の考察
  この関数のラプラス変換を行うと
  $$\begin{eqnarray*} \mathcal{L}\left( \frac{1}{w}\left( u(t)-u(t-w) \right) \rig... ...1}{ws}\left( 1-e^{-ws} \right)　\\ &=& 1 -\frac{ws}{2!}+ \dots \end{eqnarray*}$$
  
  
  となる。ここで $w \rightarrow 0$の極限を取ることによって、 $\mathcal{L}(\delta(t))=1$が理解できる。

次にデルタ関数の微分のラプラス変換を考える。ラプラス変換を行なう際の積分 範囲を $-\epsilon \rightarrow \infty$と拡張すれば、部分積分の公式より

$$\mathcal{L}(\frac{d}{dt}\delta(t)) = -\delta(-\epsilon) + s \mathcal{L}(\delta(t))$$

が成り立つ。ここで $\delta(-\epsilon) =0$であ るし、 $\mathcal{L}(\delta(t))=1$だから、

$$\mathcal{L}(\frac{d}{dt}\delta(t)) = s$$

と結論づけることにする。同様に、

$$\mathcal{L}(\frac{d^n}{dt^n}\delta(t)) = s^n$$

である。