ラプラス変換

ある時間の関数$f(t)$が与えられているとき、

$${\mathcal L}(f(t)) = \int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$$ (9.4)

を$f(t)$のラプラス変換と言う。 次に示すようにラプラス変換は線形である。

$${\mathcal L}(\alpha_1 f_1(t) + \alpha_2 f_2(t))$$

$$= \int_0^\infty (\alpha_1 f_1(t) + \alpha_2 f_2(t)) e^{-st}dt$$

$$= \alpha_1{\mathcal L}(f_1)+\alpha_2{\mathcal L}(f_2)$$ (9.5)

また、 ${\mathcal L}(f( t)) =G(s)$のとき

$${\mathcal L}(f(\alpha t)) = \int_0^\infty f(\alpha t)e^{-st}dt$$

$$\alpha t \rightarrow t' {\rm とおくと}$$

$$= \int_0^\infty f(t')e^{-(s/\alpha)t'}dt'/\alpha$$

$$= \frac{1}{\alpha}G\left(\frac{s}{\alpha}\right)$$ (9.6)

となり、相似則と言う。

$f(t)$の時間微分をラプラス変換すると、

$$\begin{eqnarray*} &&{\mathcal L}(\frac{d}{dt} f(t)) \nonumber \\ &=& \int_0^\in... ...onumber \\ &=& -f(0) + s\int_0^\infty e^{-st} f(t)dt \nonumber \end{eqnarray*}$$

もしも、 ${\mathcal L}(f(t))$が存在するならば、

$${\mathcal L}(\frac{d}{dt} f(t)) = -f(0)+s{\mathcal L}( f(t))$$ (9.7)

となる。一方、

$$\begin{eqnarray*} {\mathcal L}\left( \int_0^t f(t')dt' \right) &=& \int_0^\infty... ...umber \\ &=& \frac{1}{s}\int_0^\infty e^{-st} f(t)dt \nonumber \end{eqnarray*}$$

すなわち、

$${\mathcal L}\left( \int_0^t f(t')dt' \right) = \frac{1}{s}{\mathcal L}(f(t))$$ (9.8)

である。

よく使われる関数のラプラス変換を 表 9.1にまとめる。

表 9.1: よく使われる関数のラプラス変換

関数	ラプラス変換 $(s > 0)$
$\delta(t)$	1
$1$	$1/s$
$t$	$1/s^2$
$e^{t}$	$1/(s - 1)$
$\cos t$	$s/(s^2+1)$
$\sin t$	$1/(s^2+1)$