強制振動の解

微分方程式

$$L\frac{dI(t)}{dt} + R I(t) + \frac{Q}{C} = \phi(t)$$ (6.2)

を解いてみよう。これは、図6.2に交流起電力を直列に入れた回路の振 る舞いを決定する微分方程式である。

$$\begin{eqnarray*} \frac{d\tilde{Q}(t)}{dt} = i \omega \tilde{Q}_0 e^{i \omega t} = \tilde{I}_0 e^{i \omega t} \\ \end{eqnarray*}$$

であるから、 $i \omega \tilde{Q} = \tilde{I}$となる。同様に、 $$\frac{d\tilde{I}(t)}{dt} = i \omega \tilde{I}_0 e^{i \omega t}$$になるので、解くべき微分方程式は

$$\begin{eqnarray*} i \omega L\tilde{I} + R \tilde{I} + \frac{\tilde{I}}{i \omega C} = \tilde{\phi} \end{eqnarray*}$$

となる。すべての項に共通な $e^{i \omega t}$は落としている。もう少し 式変形して、

$$\tilde{I} = \frac{\tilde{\phi}}{Z}$$ (6.3)

$$Z = R + i \bigl(\omega L - \frac{1}{\omega C} \bigr)$$ (6.4)

が得られる。

$R$が小さい場合、$\omega$を変化させるとある特定の周波数で $$\omega L - \frac{1}{\omega C}=0$$となる。 このとき、$\tilde Z$は小さな値にな り、大きな電流が流れることになる。これは、振動子の共鳴と同じ現象で ある。式6.6の括弧の中がゼロになる周波数を共鳴周波数$\omega_0$と呼び、

$$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$ (6.5)

である。

$Z$のことをインピーダンスと呼び、これを用いると交流 回路でも直流回路に適用できたキルヒホッフの法則のような 様々な解法が適用できるようになる。