電気振動

下図の回路でキャパシター$C$に電荷$Q_0$を蓄えた後、スイッチS を閉じる。この時、回路に流れる電流を$I(t)$とすると、 $$I(t) = \frac{dQ(t)}{dt}$$である。ここで$Q(t)$は 各瞬間においてキャパシターに蓄えられている電荷である。

図 6.2: 電気振動

回路を一周する時の起電力の総和は

$$\begin{eqnarray*} 0 = L\frac{dI(t)}{dt} + R I(t) + \frac{Q(t)}{C} \\ = L \frac{d^2 Q(t)}{dt^2} + R \frac{dQ(t)}{dt} + \frac{Q(t)}{C} \end{eqnarray*}$$

である。

特に$R=0$の場合は

$$\begin{eqnarray*} \frac{d^2Q(t)}{dt^2} = - \frac{1}{LC} Q(t) \end{eqnarray*}$$

となるから、電荷$Q(t)$は

$$\begin{eqnarray*} Q(t) &=& Q_0 \cos (\omega_0 t + \delta) \\ \omega_0 &=& \sqrt{\frac{1}{LC}} \end{eqnarray*}$$

の単振動を行う。また、抵抗がゼロでない場合の解は

$$\begin{eqnarray*} Q(t) &=& A e^{-\alpha t} \cos(\omega' t+\delta) \\ \alpha &=& \frac{R}{2L} \\ \omega'&=& \sqrt{\frac{1}{LC} - \frac{R^2}{4L^2}} \end{eqnarray*}$$

であり、減衰振動を行う。ここで、液体中の単振り子と比較すると コイルが「慣性」の、キャパシターが「復元力」の役を 担っていることが分かる。抵抗はもちろん「抵抗」の役である。