$r$に関わる近似式

原点のごく近傍$\vec{r} '$に存在する電荷から位置$\vec{r}$に存在する 電荷への力を考える場合がある。その場合、この二つの電荷間の距離が必要で あるが、以下のように近似すると便利な場合がある。

$$\vert\vec{r} - \vec{r} '\vert = \sqrt{(\vec{r} - \vec{r} ')\cdot (\vec{r} - \vec{r} ')}$$

$$= \sqrt{\vert\vec{r} \vert^2 - 2 \vec{r}\cdot\vec{r} ' + \vert\vec{r} '\vert^2}$$

$$\approx \sqrt{\vert\vec{r}\vert^2 - 2 \vec{r}\cdot\vec{r} ' }$$

$$\approx \vert\vec{r} \vert\left(1-\frac{\vec{r}\cdot\vec{r} ' }{\vert\vec{r} \vert^2}\right)$$ (1.24)

一般に、

$$\vert\vec{r} - \vec{r} '\vert^n \approx \vert\vec{r} \vert^n \left(1 - 2 \frac{\vec{r}\cdot\vec{r} '}{\vert\vec{r} \vert^2}\right)^{n/2}$$

$$\approx \vert\vec{r} \vert^n \left(1 -n \frac{\vec{r}\cdot\vec{r} '}{\vert\vec{r} \vert^2}\right)$$ (1.25)

と近似できる。この近似式はよく使われる。