問題3.5.1

$$\begin{eqnarray*} m \frac{d^2 \vec{u}}{dt^2}+ \frac{m}{\tau}\frac{d \vec{u}}{dt} + k \vec{u}=-e \vec{E} \end{eqnarray*}$$

の定常解を求めよ．

===== 解答 =====

$d/dt \rightarrow i \omega$と置き換えると、

$$\begin{eqnarray*} - m \omega^2 \vec{u}+ i \omega \frac{m}{\tau}\vec{u} + k \vec{u}=-e \vec{E} \end{eqnarray*}$$

となる。したがって、$\vec{u}$について解くと、

$$\begin{eqnarray*} \vec{u} &=& \frac{-e \vec{E}}{m(-\omega^2+i \omega/\tau + k/m)... ... &=& \frac{-e \vec{E}}{m(\omega_0^2 - \omega^2+i \omega/\tau)} \end{eqnarray*}$$

となる。ただし、 $\omega_0^2 = k/m$に注意。