抵抗がある場合

電子の運動に速度に比例した抵抗がある場合を考える。電子の運動方程式は、

$$m\frac{d^2 \vec{u}}{dt^2} + \frac{m}{\tau}\frac{d \vec{u}}{dt}+ k\vec{u} = -e \vec{E}$$ (3.51)

になる。ここで$\tau$は緩和時間で、電界が急に変化した場合この程度の時間が たてば電子はその電界の変化に追随する。 抵抗がない場合と同様に複素数を用いて、微分方程式を解くと、

$$\vec{u} = \frac{-e}{m(\omega_0^2 - \omega^2 + i \omega/\tau)} \vec{E}$$ (3.52)

となる。誘電率は複素数になり、

$$\tilde{\varepsilon}(\omega) = \varepsilon_0 + \frac{Nze^2}{m(\omega_0^2 - \omega^2 + i \omega/\tau)}$$ (3.53)

となる。誘電率を実数部と虚数部に分けると、

$$\tilde{\varepsilon}(\omega) = \varepsilon(\omega)+ i \varepsilon'(\omega)$$ (3.54)

ただし、

$$\varepsilon(\omega) = \varepsilon_0 + \frac{Nze^2}{m} \frac{\omega_0^2 - \omega^2}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 +(\omega/\tau)^2}$$ (3.55)

$$\varepsilon'(\omega) = - \frac{Nze^2}{m} \frac{\omega/\tau}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 +(\omega/\tau)^2}$$ (3.56)

である。

図 3.18: 誘電率の周波数依存性（抵抗のある場合）