誘電体中の振動電界

誘電体中の振動電界の振る舞いを調べるために、誘電体をモデル化した原子の集 合と考える。このモデル原子は、中心の質量の大きな原子核とそれにバネでつな がれた電子の複合体と考える。原子核の質量は大きいので、電子の運動に比べて 原子核の運動は無視できるとする。

バネ定数を$k$とすれば電界のない場合の運動方程式は、電子の変位を$\vec{u}$ として

$$m\frac{d^2 \vec{u}}{dt^2} + k\vec{u} =\vec{0}$$ (3.42)

となる。電子は固有振動数 $\omega_0 = \sqrt{k/m}$を持つことになる。 ここに、振動電界 $\vec{E} = \vec{E}_0 \cos \omega t$をかけると、

$$m\frac{d^2 \vec{u}}{dt^2} + k\vec{u}(t) = -e \vec{E}_0 \cos \omega t$$ (3.43)

となり、外力の加わった振動子の運動方程式と同じ形になる。交流回路で学んだ 微分方程式の解法を用いて、 $\vec{u} = \vec{u}_0 \cos \omega t$とおいて式 変形すると、

$$\begin{eqnarray*} ( - m \omega ^2 + k)\vec{u}(t) = -e \vec{E}_0 \cos \omega t \end{eqnarray*}$$

となる。従って

$$\vec{u} = \frac{-e}{m(\omega_0^2 - \omega^2)} \vec{E}$$ (3.44)

となる。1分子に$z$この電子があるとすれば、1分子に生じる分極$\vec{p}$は、

$$\vec{p} = -ze\vec{u}$$ (3.45)

$$= \alpha(\omega)\vec{E}$$ (3.46)

ただし、

$$\alpha(\omega) = \frac{ze^2}{m(\omega_0^2 - \omega^2)}$$ (3.47)

で、これが分子の分極率である。ここで注目すべき点は振動電界$\vec{E}$の振 動数$\omega$が電子の固有振動数$\omega_0$に近いところで、分極が非常に大き くなる点である。

マクロな物質でも、外部から与えられる電界が分子にもそのまま作用すると考え ると、（この近似は分極の効果が小さい時に正しい）単位体積中の分子の数$N$ を式3.55にかけて、

$$\vec{P} = N \vec{p} = \chi_e \vec{E}$$ (3.48)

ただし、

$$\chi_e(\omega) = \frac{Nze^2}{m(\omega_0^2 - \omega^2)}$$ (3.49)

となる。$\chi_e$は電気感受率である。そして、誘電率も周波数依存性を持ち、

$$\varepsilon(\omega) = \varepsilon_0 + \frac{Nze^2}{m(\omega_0^2 - \omega^2)}$$ (3.50)

となる。周波数 $\omega = \omega_0$で関数は発散するが、これは電子の運動に おける抵抗の効果を考慮していないからである。

図 3.17: 誘電率の周波数依存性（抵抗のない場合）