問題3.4.8

平行平板キャパシターに誘電率$\varepsilon$の誘電体をいれた。このキャパシター に蓄えられている電荷$Q_0$は一定である。

1. 誘電体がある場合 とない場合の極板間の電界の様子を示し、容量の比を求めよ。
2. 極板間から誘電体を引き出すために必要な力はいくらか?極板は1辺$L$の 正方形で辺に平行に誘電体を動かす。なお誘電体も1辺$L$の正方形で、 その厚さは極板間の距離$d$に等しい。

===== 解答 =====

1. 図は省略。ただし、分極電荷のために、誘電体中（電極間）の電界は弱くなる ことを図示すれば良い。

   容量比は $\varepsilon/\varepsilon_0$で大きくなる。

2. 誘電体の位置を$x$とすると、
   $$\begin{eqnarray*} C = \frac{L}{d}\left( (L-x)\varepsilon +x\varepsilon_0 \right)... ... Q^2}{\left(\varepsilon L -(\varepsilon-\varepsilon_0)x\right)L} \end{eqnarray*}$$
   
   
   である。力は、
   $$\begin{eqnarray*} F &=& \frac{\partial }{\partial x}U(x)\\ &=& -\frac{1}{2}\fr... ...\varepsilon_0} {\varepsilon L-(\varepsilon-\varepsilon_0)x}U(x) \end{eqnarray*}$$
   
   
   となる。