問題3.4.7

誘電率$\varepsilon$の一様な誘電体中に電界$\vec{E}$がある。空洞を作ったとき の電界$\vec{E}'$の強さを求めよ。

1. 電界の方向に平行な細長い棒状の空洞。
2. 電界の方向に垂直な薄くて広い円盤状空洞。
3. 球状の空洞。

===== 解答 =====

1. 表面に誘起される表面分極電荷の大きさは一定であるが、 空洞の長さはいくらでも長くすることができる。したがって、 誘起された電荷による電界はゼロ、すなわち、電界の強さは同じになる。

2. $\vec{D}\cdot \vec{n}$が連続であるという境界条件より、 $$\vec{E'} = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}\vec{E}$$ となる。

3. 真空中に誘電体球をおく場合を考えよう。誘電分極による電界は、 $-\vec{P}/3\varepsilon_0$である。真空中の一様な電界を$\vec{E}$とすれば、 誘電体中の電界$\vec{E}'$は以上２つのベクトルの和になり、
   $$\begin{eqnarray*} \vec{E}'=\vec{E}-\frac{\vec{P}}{3 \varepsilon_0} \end{eqnarray*}$$
   
   
   となる。一方、定義より、
   $$\begin{eqnarray*} \varepsilon \vec{E}'=\varepsilon_0 \vec{E}'+\vec{P} \end{eqnarray*}$$
   
   
   であるから、
   $$\begin{eqnarray*} \vec{E}'=\frac{3\varepsilon_0}{2\varepsilon_0+\varepsilon}\vec{E} \end{eqnarray*}$$
   
   
   となる。

   問題は真空と誘電体の役割を逆にすれば良いので、 $\varepsilon$と$\varepsilon_0$を入れ換えて、

   $$\begin{eqnarray*} \vec{E}'=\frac{3\varepsilon}{2\varepsilon+\varepsilon_0}\vec{E} \end{eqnarray*}$$
   
   
   となる。