問題3.4.3

半径$a$の誘電体球に一様な分極$\vec{P}$が生じた。球内部の電界を求めよう。 ただし、 $\vert\vec{u}\vert \ll a$である。

1. 原点を中心とする半径$a$の球内に一様に分布する電荷（密度は$\rho$） が球内の点$\vec{r}$に作る電界 $\vec{E}(\vec{r})$を求める。
2. 中心が$\vec{u}/2$の一様な正電荷の球状の分布（半径$a$、電荷密 度$\rho$）と中心が$-\vec{u}/2$の一様な負電荷の球状の分布（半径$a$、 電荷密度$-\rho$）の作る電界 $\vec{E}(\vec{r})$を求めよ。
3. $\vec{E}(\vec{r})$を分極ベクトル$\vec{P}$を用いて、表せ。

===== 解答 =====

1. $$\begin{eqnarray*} 4 \pi r^2 \vec{E}(\vec{r}) &=& \frac{1}{\varepsilon_0}\frac{4\pi}{3}r^3 \rho \frac{\vec{r}}{r} \end{eqnarray*}$$
   
   
   より、
   $$\begin{eqnarray*} \vec{E}(\vec{r}) &=& \frac{\rho}{3 \varepsilon_0}\vec{r} \end{eqnarray*}$$
   
   
   となる。

2. $$\begin{eqnarray*} \vec{E}_+(\vec{r}) &=& \frac{\rho}{3 \varepsilon_0}(\vec{r}... ...&=& \frac{-\rho}{3 \varepsilon_0}(\vec{r}+\frac{1}{2}\vec{u}) \end{eqnarray*}$$
   
   
   であるから、ベクトル和をとると、
   $$\begin{eqnarray*} \vec{E}&=&\vec{E}_+(\vec{r}) + \vec{E}_-(\vec{r}) \\ &=& \f... ...ac{1}{2}\vec{u}) \\ &=& -\frac{\rho}{3 \varepsilon_0}\vec{u} \end{eqnarray*}$$
   
   
   となる。

3. $$\begin{eqnarray*} \vec{E} &=& -\frac{\vec{P}}{3 \varepsilon_0} \end{eqnarray*}$$
   
   
   となる。