問題3.4.2

分極の生じる第2の機構について考察する。原子を正電荷$=q$の点電荷と、それ を中心とする半径$a$の球内に一様な負電荷（合計は$-q$）からなると考えよう。 ただし、負電荷の分布は変化しないと考える。

1. 正の点電荷が負電荷の中心から長さ$u$だけずれたとき、正の点電荷にはどの ような力が働くか?
2. この「原子」に一様な電界（その大きさは$E$）をかけた。正電荷の位置 と負電荷の中心の位置のズレはいくらになるか？正電荷と負電荷に作用 する力のバランスを考慮して求めよ。
3. 分極率を求めよ。

===== 解答 =====

1. 分布した負電荷のつくる電界は、ガウスの定理より、
   $$\begin{eqnarray*} 4 \pi u^2 \vec{E} &=& \frac{1}{\varepsilon_0 }\frac{4}{3}\pi u^3 \rho \\ && \rho = \frac{q}{\frac{4}{3}\pi a^3} \end{eqnarray*}$$
   
   
   より、
   $$\begin{eqnarray*} \vec{E} &=& \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 a^3}\vec{u} \end{eqnarray*}$$
   
   
   となる。したがって、正の点電荷に作用する力は、
   $$\begin{eqnarray*} q \vec{E} &=& \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 a^3}\vec{u} \end{eqnarray*}$$
   
   
   となる。

2. 力のバランスを考えると、
   $$\begin{eqnarray*} q\vec{E}_{ext} - q \vec{E}(u) &=& 0 \end{eqnarray*}$$
   
   
   $\vec{E}_{ext}$を$x$軸の正の向きにとると、
   $$\begin{eqnarray*} q E_{ext } &=& \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 a^3} u \end{eqnarray*}$$
   
   
   したがって、
   $$\begin{eqnarray*} q u &=& \frac{4 \pi \varepsilon_0 a^3}{q} q E_{ext} \end{eqnarray*}$$
   
   
   となる。

3. 仮想的な1原子の分極は
   $$\begin{eqnarray*} p =qu = \alpha E \end{eqnarray*}$$
   
   
   である．したがって， $\alpha = 4 \pi \varepsilon_0 a^3$となる。