問題3.4.4

電気感受率の概算を行おう。電気双極子モーメント$p$を持つ分子が電界$\vec{E}$の中 に置かれた場合、電気双極子が電界の方向を向く場合と逆向きになる場合のエネ ルギーの差は、$2pE$である。統計力学より、温度$T$で熱振動する分子の平均の モーメントは $$\bar{p}\sim p \frac{2pE}{k_BT} = \frac{2p^2}{k_B T}E$$である。ここで、$k_B$ はボルツマン定数である。単位体 積中に分子が$N$こあるとする。 ただし、誘電体の分子による電界は小さいとして、外部からかけられる電界を 分子も感じるものとして計算せよ。

1. 電気感受率は
   $$\begin{eqnarray*} \chi_e \sim \frac{2Np^2}{k_B T} \end{eqnarray*}$$
   
   
   となることを示せ。
2. 温度が300 Kで、分子の電気双極子モーメントが $5 \times 10^{-30}$ Cm のとき、 $\varepsilon /\varepsilon_0 -1$はどの程度か？分子の平均間隔は $0.5$ nmである。また、 $k_B=1.38\times10^{-23}$ JK$^{-1}$である

===== 解答 =====

1. $\vec{P}=\chi_e \vec{E}$で、 $$\vec{P}=N\vec{p}=N\frac{2p^2}{k_B T}\vec{E}$$ であるから、 $$\chi_e =N\frac{2p^2}{k_B T}$$となる。

2. $$\begin{eqnarray*} \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}-1 &=& \frac{\chi_e}{\varepsi... ... {1.38\times 10^{-23} 300} \big/\varepsilon_0 \\ &\sim& 11 \end{eqnarray*}$$
   
   
   となる。