問題3.3.7

次の式を満たすベクトルポテンシャル $\vec{A}(\vec{r},t)$ を導入しよう。

$$\begin{eqnarray*} \vec{E}&=&-\partial_t \vec{A} \\ \vec{B}&=& \vec\nabla \times \vec{A} \end{eqnarray*}$$

このとき、電荷も電流もない真空中のMaxwell方程式は

$$\begin{eqnarray*} \vec{\nabla}\cdot \vec{A} &=& 0 \\ \nabla^2 \vec{A} &=& \varepsilon_0 \mu_0 \partial_t^2 \vec{A} \end{eqnarray*}$$

のように還元されることを示せ。

===== 解答 =====

真空中のMaxwellの方程式は、

$$\begin{eqnarray*} \vec{\nabla}\cdot \vec{D} &=& 0 \\ \vec{\nabla}\cdot \vec{B} ... ...\nabla}\times \vec{H} &=& \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \end{eqnarray*}$$

であった。それぞれ$\vec{A}$を用いて検討しよう。

第1式の左辺は、$\vec{A}$を用いて書くと

$$\begin{eqnarray*} \vec{\nabla}\cdot (-\varepsilon_0 \partial_t \vec{A}) &=& -\varepsilon_0 \partial_t (\vec{\nabla}\cdot \vec{A}) \end{eqnarray*}$$

となる。すなわち、第1式は $\vec{\nabla}\cdot \vec{A}=0$ならば、成立する。

第2式の左辺は、$\vec{A}$を用いて書くと $\vec{\nabla}\cdot (\vec{\nabla}\times \vec{A})$ となる。この式はベクトル演算の公式より、恒等的にゼロになる。 言い替えると、$\vec{A}$を導入すると第2式は必要なくなる。

第3式は、$\vec{A}$を用いて書くと

$$\begin{eqnarray*} \vec{\nabla}\times (-\partial_t \vec{A}) &=& - \partial_t (\vec\nabla \times \vec{A}) \end{eqnarray*}$$

となる。この式は恒等的に成立する。 言い替えると、$\vec{A}$を導入すると第3式は必要なくなる。

第4式は、$\vec{A}$を用いて書くと

$$\begin{eqnarray*} \vec{\nabla}\times (\frac{1}{\mu_0}\vec\nabla \times \vec{A}) &=& \partial_t (-\varepsilon_0 \partial_t A) \end{eqnarray*}$$

となる。左辺は公式より変形できて、

$$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\mu_0}\left( -\nabla^2 \vec{A} + \vec\nabla (\vec\n... ... \vec{A})\right) &=& \partial_t (-\varepsilon_0 \partial_t A) \end{eqnarray*}$$

となる。ここで、 $\vec{\nabla}\cdot \vec{A}=0$から、最終的に、

$$\begin{eqnarray*} \nabla^2 \vec{A} &=& \varepsilon_0 \mu_0 \partial_t^2 \vec{A} \end{eqnarray*}$$

と等価になる。