電磁波

微分形のマクスウェルの方程式の3番目の式3.26cより、 磁場が変化すると電場が発生する。この発生した電場が さらに時間変化すると、今度は同じく4番目の式3.26dより 磁場が発生する。するとまた、電場が発生し、....と 空間中を伝わる波＝「電磁波」が生じる。

電荷も電流もない真空中を伝わる波を考える。これらの条件を 数式で表すと、$\rho = 0$、 $\vec{i}=\vec{0}$、 $\vec{D}=\varepsilon_0 \vec{E}$、そして $\vec{B}=\mu_0 \vec{H}$である。よって、マクスウェルの方程式は 電界$\vec{E}$と磁場$\vec{H}$だけで表せ、

$$\begin{eqnarray*} \vec{\nabla}\cdot \vec{E} &=& 0\\ \vec{\nabla}\times \vec{E} ... ... \vec{H} &=& \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{eqnarray*}$$

となる。ここで$z$方向に伝わる平面波を考えると、すべての量は $z$と$t$だけの関数であるから、マクスウェルの方程式は

$$\begin{eqnarray*} \vec{\nabla}\cdot \vec{E} = 0 &\Longrightarrow& \displays... ... 0 & = & \varepsilon_0 \partial_t E_z \end{array} \right. \\ \end{eqnarray*}$$

となる。ただし、 $$\partial_A B = \frac{\partial B}{\partial A}$$と略記 している。 $\partial_z E_z =0$、 $\partial_t E_z = 0$より、$E_z$は$z$にも$t$にも よらない定数である。ここでは静電場は考慮していないので、$E_z=0$と 結論づけることができる。同様にして$H_z=0$が結論できるので、電磁波は 「横波」であることがわかる。

ここで、$\vec{E}$の方向を$x$方向にとると、定義より$E_y=0$である。 この$E_y=0$と上記の方程式を合わせて、

$$\begin{eqnarray*} \partial_t H_x = 0,\qquad \partial_z H_x =0 \end{eqnarray*}$$

が得られる。すなわち、$H_x =0$となり$\vec{H}$は$y$成分だけを持つ。

結局、マクスウェルの方程式は以下のにように簡略できる。

$$\begin{eqnarray*} E_z &=& 0 \\ H_z &=& 0 \\ E_y &=& 0 \\ H_x &=& 0 \\ \parti... ...tial_t H_y \\ -\partial_z H_y &=& \varepsilon_0 \partial_t E_x \end{eqnarray*}$$

最初の2式は横波であることを示し、第3,4式は波に伴う電界と磁場の変動方向が 直交していることを表している。 最後の2つの方程式より、

$$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial E_x}{\partial t} &=&... ...rac{1}{\varepsilon_0 \mu_0} \frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} \end{eqnarray*}$$

同様に、

$$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 H_y}{\partial t^2} = \frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0} \frac{\partial^2 H_y}{\partial z^2} \end{eqnarray*}$$

となるが、これらは早さが $$c_0 = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}$$の波動方程式 である。

すなわち、マクスウェルの方程式より

$$\begin{eqnarray*} E_x &=& E_0 \cos \omega (t - \frac{z}{c_0}) \\ E_y &=& 0 \\ ... ...& 0 \\ H_y &=& H_0 \cos \omega(t - \frac{z}{c_0}) \\ H_z &=&0 \end{eqnarray*}$$

となる波＝「電磁波」の存在が予言される。この予言はマクスウェルの よって最初になされ、ヘルツによってその存在が確認された。ただし $$\frac{H_0}{E_0} = \sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}}$$である。