問題3.2.4

自己インダクタンスが$L_1,L_2$で相互インダクタンスが$M$の2つの回路がある。

1. 回路1にのみ電流$I_1$を流したときに回路に蓄えられるエネルギー$U_1$ はいくらか?
2. コイル1の電流を一定に保ちながら、コイル2に電流を流し始める。コイ ル2の電流が$I$になったときに、コイル1,2を貫く磁束はいくらか?
3. 誘導起電力$\phi_2$に抗してコイル2の電流を0から$I_2$まで増加するの に必要な仕事$U_2$はいくらか？
4. コイル2の電流が0から$I_2$まで変化する間、誘導起電力$\phi_1$に抗し てコイル1の電流を$I_1$に維持するために必要な仕事$U_3$はいくらか。
5. $U_1,U_2,U_3$の合計を求めよ。

===== 解答 =====

1. $$\begin{eqnarray*} U &=& \frac{1}{2}L_1 I_1^2 \end{eqnarray*}$$
   
   

2. $$\begin{eqnarray*} \Phi_1 &=& L_1 I_1 + M I \\ \Phi_2 &=& L_2 I +M I_1 \end{eqnarray*}$$
   
   

3. $$\begin{eqnarray*} \phi_2 &=& -L_2 \frac{d I}{dt} \end{eqnarray*}$$
   
   
   だから、
   $$\begin{eqnarray*} U_2 &=& -\int_0^T \phi_2 I dt \\ &=& -\int_0^T -L_2 \frac{d... ... dt\\ &=& \int_0^{I_2} L_2 I d I \\ &=& \frac{1}{2}L_2 I_2^2 \end{eqnarray*}$$
   
   

4. $$\begin{eqnarray*} U_3 &=& -\int_0^T \phi_1 I_1 dt \\ &=& -\int_0^T -M \frac{d I}{dt}I_1 dt\\ &=& M I_1 \int_0^{I_2} d I \\ &=& M I_1 I_2 \end{eqnarray*}$$
   
   

5. $$\begin{eqnarray*} U_1 + U_2+ U_3 &=& \frac{1}{2}L_1 I_1^2 + \frac{1}{2}L_2 I_2^... ...t) \left( \begin{array}{c} I_1\\ I_2 \end{array} \right) \end{eqnarray*}$$