問題3.2.2

インダクタンス$L$の超伝導コイルに電流$I$が流れていた。ところが、 わずかな残留抵抗$R$の ために、コイルの電流は徐々に減少した。電流の時間変化を微分方程式を解くこ とによって求めよ。 ただし、時刻 $t=0$における電流を $I_0$とする。 さらに、コイルの電流がゼロになる までに、抵抗$R$で発生するジュール熱を計算せよ。 また、それを、初めに蓄えられてい た静磁場のエネルギーと比較せよ。

===== 解答 =====

$$\begin{eqnarray*} L \frac{d I}{dt} +R I = 0 \end{eqnarray*}$$

だから、

$$\begin{eqnarray*} \frac{d I}{dt} = -\frac{R}{L} I \end{eqnarray*}$$

となる。積分することによって、

$$\begin{eqnarray*} I(t) = I_0 e^{-t/T} \end{eqnarray*}$$

となる。ただし、$T= L/R$である。

抵抗で発生するジュール熱は、各瞬間におけるジュール熱を積分すれば 良いので、

$$\begin{eqnarray*} Q &=& \int_0^{\infty} R I^2 dt \\ &=& \int_0^{\infty} R I_0... ...infty} \\ &=& \frac{1}{2}RT I_0^2 \\ &=& \frac{1}{2}L I_0^2 \end{eqnarray*}$$

となる。最初コイルに蓄えられていた磁場のエネルギーと等しいことに注意する こと。