問題3.1.8

半径$a_1,a_2$の円形回路が、同一平面上に中心を同じくして置かれている。 ただし、$a_1 \gg a_2$である。

1. 円形回路（半径$a$）に電流$I$が流れている。 その回路の中心の磁束密度をビオ・サバールの法則を用いて計算せよ。

   ヒント： $$\vec{B}(\vec{r})= \int \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I \vec{t}(\vec{r} ')\times (\vec{r}-\vec{r} ')}{\vert\vec{r} - \vec{r} '\vert^3}ds$$を計算する。 ただし、

   • $\vec{r} '=(a \cos \theta, a \sin \theta, 0)$
   • $\vec{t}(\vec{r} ')=( -\sin \theta, \cos \theta, 0)$
   • $\vec{r}=(0, 0, 0)$
   • $ds = ad\theta$
   として$\theta$を$0$から$2\pi$まで積分する。

2. 回路1に電流$I_1$を流した時に回路2を貫く磁束から相互インダクタ ンスを求めよ。

3. 円形回路（半径$a$）に電流$I$が流れている。その回路は$xy$平面上に あるとして、$x$軸上の十分遠方にある点での磁束密度を計算せよ。

   ヒント：小問1と同様に計算する。ただし、 $\vec{r}=(x,0,0)$で、 $x \gg a$であることに注意。また、近似式 $$(1+x)^n \approx 1+n x, \frac{1}{1+x} \approx 1 - x$$ （ただし、$x \ll 1$）を用いこと。

4. 回路2に電流$I_2$を流した時に回路1を貫く磁束から相互インダクタ ンスを求めよ。

===== 解答 =====

1. 円形回路の中心を原点にとると、
   $$\begin{eqnarray*} && \vec{B}(\vec{0}) \\ &=& \int \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I \ve... ...rt{(-a\cos \theta)^2+(a\sin \theta )^2}\right )^3} I a d\theta \end{eqnarray*}$$
   
   
   であるから、$z$方向以外の成分はゼロになる。以下$z$方向の成分 $B_z(\vec{r})$のみを考察する。積分範囲は$0 \sim 2 \pi$である。
   $$\begin{eqnarray*} B_z(\vec{0}) &=& \int \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{ a }{a^3} I a d... ...{\mu_0}{4\pi}\frac{ I }{a} 2 \pi \\ &=& \frac{\mu_0 }{2a }I \\ \end{eqnarray*}$$
   
   

2. コイル1による中心の磁束密度は、
   $$\begin{eqnarray*} B=\frac{\mu_0}{2 a_1}I_1 \end{eqnarray*}$$
   
   
   である。したがって、コイル2を貫く磁束は
   $$\begin{eqnarray*} \phi_2 &=& BS \\ &=& \frac{\mu_0}{2 a_1}I_1\pi a_2^2 \\ \end{eqnarray*}$$
   
   
   したがって、定義により、
   $$\begin{eqnarray*} M &=& \frac{\pi \mu_0 a_2^2}{2 a_1} \\ \end{eqnarray*}$$
   
   
   となる。

3. 点$(x,0,0)$（ただし、$x \gg a$）における磁束密度を考える。
   $$\begin{eqnarray*} && \vec{B}(\vec{r}) \\ &=& \int \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I \ve... ...t{(x-a\cos \theta)^2+(a\sin \theta )^2}\right )^3} I a d\theta \end{eqnarray*}$$
   
   
   であるから、$z$方向以外の成分はゼロになる。以下$z$方向の成分 $B_z(\vec{r})$のみを考察する。積分範囲は$0 \sim 2 \pi$である。
   $$\begin{eqnarray*} && B_z(\vec{r}) \\ &=& \int \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{ a -x \c... ...\frac{\pi a^2 I}{x^3}\\ &=& - \frac{\mu_0 }{4}\frac{a^2 I}{x^3} \end{eqnarray*}$$
   
   

4. $$\begin{eqnarray*} \Phi_1 &=& \int_{0}^{a_1}B_z(\vec{r}) 2 \pi r dr \\ &=& - ... ...pi r dr - \int_{semi-sphere}\vec{B}(\vec{r})\cdot d\vec{s} \\ \end{eqnarray*}$$
   
   
   ここで、 $r \rightarrow \infty$のとき $$\vert\vec{B}(\vec{r})\vert \approx B(r_0)\frac{r_0^3}{r^3}$$、 $\int_{semi-sphere}d{s} = 4 \pi r^2$であるから、第2項はゼロになる。
   $$\begin{eqnarray*} \Phi_1 &=& - \int_{a_1}^{\infty}B_z(\vec{r}) 2 \pi r dr \\ ... ...infty} \frac{dr}{r^2}\\ &=& \frac{\pi \mu_0 a_2^2}{2a_1} I_2 \end{eqnarray*}$$
   
   
   したがって、定義より $$M=\frac{\pi \mu_0 a_2^2}{2a_1}$$ となり、同じ結果を与える。