問題2.6.14

無限に長い断面が半径$R$の円形の導線に電流$I$が流れている場合の磁場を 以下の手順に従って求めよ。

1. 電流密度$i(\vec{r})$を求めよ。
2. ビオ-サバールの法則より磁力線には動径方向の成分がないことを説明せよ。
3. アンペールの法則より磁場の大きさを求めよ。

===== 解答 =====

1. $$i(\vec{r})= \frac{I}{\pi R^2}$$ である。
2. 電線の中の位置$(x,y,z)$における電流の微少要素によって作られる 位置ベクトル$(x_0,y_0,z_0)$での磁場を考える。
   $$\begin{eqnarray*} &&d\vec{H} \\ &=& \frac{i}{4 \pi r^2} (dz \vec{k}) \frac{(... ...-(y_0-y),x_0-x,0)dx dy dz}{\sqrt{(x_0-x)^2+(y_0-y)^2+(z_0-z)^2}} \end{eqnarray*}$$
   
   
   この式より、磁場にはz成分が存在しないことが分る。座標軸の取り方は 任意だから、点 $(x_0,y_0,z_0)$として$(x_0, 0,0)$のみを考えてそこでの 磁場がy方向の成分しかないことが証明できれば十分である。その磁場は
   $$\begin{eqnarray*} d\vec{H} &=& \frac{i}{4 \pi r^2} \frac{(y,x_0-x,0)dxdydz}{\sqrt{(x_0-x)^2+y^2+z^2}} \end{eqnarray*}$$
   
   
   となる。一方、$(x,-y,z)$にある微少電流要素からの磁場は
   $$\begin{eqnarray*} d\vec{H} &=& \frac{i}{4 \pi r^2} \frac{(-y,x_0-x,0)dx dy dz}{\sqrt{(x_0-x)^2+y^2+z^2}} \end{eqnarray*}$$
   
   
   である。両者を足すと、磁場はy方向の成分しか存在しない。電流の分布は y軸に対して対称だから、積分してもy方向の成分がないことが分る。

3. 各点における磁場の大きさを$H$とすると、 それは導線の中心軸からの距離$r$だけの関数である。 ここで、アンペールの法則を適用すると
   $$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccc} \displaystyle \oint \vec{H} \cdot d\vec{r} ... ...\pi r^2 i & r < R \\ I & r > R \end{array} \right. \end{array}\end{eqnarray*}$$
   
   
   故に、
   $$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccc} H(r) = \left\{ \begin{array}{cc} \display... ...tyle \frac{I}{2 \pi r} & r > R \end{array} \right. \end{array} \end{eqnarray*}$$
   
   
   となる。