問題2.6.6

無限に長い（ $(0,0,-\infty) \rightarrow (0,0,\infty)$）直線電流による磁場 を考える。導線には 強さ$I$の電流が流れている。直線電流の微小部分$dz \vec{k}$が 点$(a,0,0)$に作る微小磁場$d \vec{H}$は

$$\begin{eqnarray*} d\vec{H} = \frac{I}{4 \pi r^2} (dz \vec{k}) \times \frac{\vec{r}}{r} \end{eqnarray*}$$

となる。ただし、$\vec{k}$はｚ方向の単位ベクトルである。 これを積分することによって、磁場を求めよ。

===== 解答 =====

$\vec{r}=(a,0,-z)$を代入すれば、

$$d\vec{H}(a,0,0) = \frac{I}{4 \pi \left( a^2 + z^2 \right)} (dz (0,0,1) ) \times \frac{(a,0,-z)}{\sqrt{a^2+z^2}}$$

となる。これをを積分することによって、点$(a,0,0)$における磁場 $$\int d\vec{H} = \vec{H}$$を求めることができる。 $d \vec{H}$はx方向の成分を持たないこと。また、積分するとz方向の成分はキャ ンセルすることを念頭に、y方向の大きさ$H$のみを計算する。

$$\begin{eqnarray*} H &=& \int_{-\infty}^{\infty}\frac{Ia}{4 \pi (a^2+z^2)^{3/2}} ... ... &=& \frac{I}{4 \pi a }\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos \theta d\theta \end{eqnarray*}$$

となる。ここで変数変換 $z = a \tan \theta$を用いた。 以上により、 $H=\displaystyle \frac{I}{2 \pi a }$となる。