問題2.6.4

一辺$a$の小さな正方形の回路に電流$I$が流れている。この正方形はxy面内に あり、xy面には垂直にしかし大きさは一様ではない磁場がかかっている。 この磁場の磁束密度の位置依存性が $\vec{B}(\vec{r})$と表されるとして、 回路に働く力を求めよ。ただし、$a$は磁束密度の変化の特徴的な長さに比べて 十分小さいものとする。また、正方形の各辺は軸に平行であるとする。

===== 解答 =====

xy面内の点 $\vec{r}_0 = (x_0, y_0, 0)$の近傍で、磁場は以下のように近似で きる。

$$\begin{eqnarray*} B_z(\vec{r}) &=& B_z(\vec{r}_0) + [\partial_x B_z(\vec{r})]_{... ...(x-x_0) + [\partial_y B_z(\vec{r})]_{\vec{r}=\vec{r}_0} (y-y_0) \end{eqnarray*}$$

y軸に平行な2辺に働く力はx軸方向になり、それぞれ

$$\begin{eqnarray*} \int_{y_0 - a/2}^{y_0+a/2} I B_z(x_0+a/2, y, 0)dy \\ \int_{y_0 - a/2}^{y_0+a/2} (-I) B_z(x_0-a/2, y, 0)dy \end{eqnarray*}$$

である。従って、その合力$F_x$は

$$\begin{eqnarray*} F_x &=& I \left(B_z(x_0, y_0, 0)+\partial_x B_z(x_0, y_0, 0)... ...t)a \\ &=& I [\partial_x B_z(\vec{r})]_{\vec{r}=\vec{r}_0} a^2 \end{eqnarray*}$$

となる。同様にx軸に平行な2辺に働く力はy方向に働く力$F_y$となり、

$$\begin{eqnarray*} F_y &=& I [\partial_y B_z(\vec{r})]_{\vec{r}=\vec{r}_0} a^2 \end{eqnarray*}$$

となる。