問題2.6.2

一辺の長さが$a$の正方形の回路に電流$I$が流れている。この回路を 一様な磁束密度$\vec{B}$の中に置いた場合に作用する力のモーメント$\vec{N}$を 求めよ。ただし、正方形の作る面の法線の向きは、面に垂直に右ねじを 置いて電流の進む向きに回した場合にねじの進む方向であり、 単位ベクトル$\vec{n}$で表す。

===== 解答 =====

正方形の各頂点をABCDとする。この面の法線ベクトルがz軸と平行になるような 座標系を考えると、 $\overrightarrow{AB} = a \vec{i}, \overrightarrow{BC} = a\vec{j}, \overrightarrow{CD} = -a\vec{i}, \overrightarrow{DA} = -a\vec{j}$ とすることができる。辺ABと辺CD、および辺BCと辺DAに働く力は同じ大きさで逆 向きなので、力としては相殺する。しかしながら、力のモーメント $\vec{N}=\vec{r}\times\vec{F}$を 考えると$\vec{0}$にはならない。

$$\begin{eqnarray*} \vec{N} &=& (0,-a/2,0) \times (a I \vec{i}\times \vec{B}) + (... ...\\ &=& Ia^2 (-B_y, B_x, 0) \\ &=& Ia^2 \vec{n} \times \vec{B} \end{eqnarray*}$$

注意、ベクトル積は結合則を満たさない。すなわち、 $\vec{a}\times(\vec{b}\times \vec{c}) \ne (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}$ である。