問題2.4.3

導体の平らな表面の深さ$d$まで電荷が一様な密度$\rho$で分布している。

1. 表面からの深さが$x$の導体内部の電場の強さ$E(x)$を求めよ。
2. 表面電荷に働く力は単位面積あたり、
   
   $$f = \int_0^d \rho E(x)dx$$
   
   
   で与えられる。計算せよ。

===== 解答 =====

1. 導体表面に垂直にx軸を取り、正の向きを導体に入る方向に取る。 原点は導体表面に取る。電場は$x<0$で $-E= -\rho d/\varepsilon_0$、 $x>d$で0である。 $0<x<d$ではガウスの法則により、 $E(x) = (\rho/\varepsilon_0)x+C$ となるはずである。ここで$C$は導体の内外で電位が連続になるように するための定数。$x=0$で連続であるために、$0<x<d$で
   
   $$E(x) = \frac{\rho}{\varepsilon} (x-d)$$
   
   
   となる。

2. 
   
   $$f = \int_0^d \rho E(x)dx = \frac{\rho^2}{\varepsilon}\int_0^d (x-d)dx =-\frac{\rho^2 d^2}{2 \varepsilon}$$
   
   
   符号は負なので、力は導体外向きに働く。