問題2.3.6

電位 $$\phi(\vec{r}) = \frac{Ae^{-\kappa r}}{r}$$で表される。ここで、 $r=\vert\vec{r} \vert$である。

1. 原点以外の電荷密度を求めよ。
2. 原点における点電荷の大きさを求めよ。
3. 原点以外に分布する全電荷を求めよ。

===== 解答 =====

1. ポアソンの方程式より以下のように求めることができる。
   $$\begin{eqnarray*} \vec{\nabla}\phi(\vec{r}) &=& A (-1)r^{-2}\frac{\vec{r}}{r}e^... ...c{r}}{r} \\ &=& -\frac{A}{r^3}e^{-\kappa r}(1+\kappa r) \vec{r} \end{eqnarray*}$$
   
   
   $$\begin{eqnarray*} \vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\phi(\vec{r})) &=& \left(\vec{\... ...\cdot \vec{r} \right) \\ &=& \kappa^2 A \frac{e^{-\kappa r}}{r} \end{eqnarray*}$$
   
   
   $\rho (\vec{r}) = -\varepsilon_0 \vec{\nabla}^2 \phi(\vec{r})$より、
   
   $$\rho = -\varepsilon_0 \kappa^2 \frac{e^{-\kappa r}}{r}$$
   
   
   となる。
2. 電場は $\vec{E}(\vec{r}) = -\vec{\nabla}\phi(\vec{r})$から、
   
   $$\vec{E}(\vec{r})=\frac{A}{r^3}e^{-\kappa r}(1+\kappa r) \vec{r}$$
   
   
   である。原点を中心とする微少な半径$\delta$の球を考えてガウスの法則を適用 すると、 $4 \pi \varepsilon_0 \delta^2 \frac{A e^{-\kappa \delta}}{\delta^2} \rightarrow 4 \pi \varepsilon_0 A$となる。
3. 原点以外に分布する電荷の総和は、
   $$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \rho(r) 4\pi r^2 dr &=& -4 \pi \varepsilon_0 A ... ...^2 \int_0^\infty r e^{-\kappa r}dr \\ &=& -4\pi \varepsilon_0 A \end{eqnarray*}$$
   
   
   となる。原点に存在する電荷と符号が逆で大きさは等しい点に注意。