ポアソン方程式

電位$\phi(\vec{r})$の勾配を取ることによって得られる電場 $\vec{E}(\vec{r})$は

$$\begin{eqnarray*} \vec{\nabla} \times \vec{E}(\vec{r}) = \vec{\nabla} \times (-\vec{\nabla} \phi(\vec{r})) =0 \end{eqnarray*}$$

となり、自動的に渦なしの条件を満たしている。従って、 電荷分布が与えられている場合の電位（その勾配を計算する ことによって電場も）は以下の微分方程式を満たす解として 与えられる。

$$\vec{\nabla}^2 \phi(\vec{r}) = - \frac{1}{\varepsilon_0} \rho(\vec{r})$$ (2.41)

この方程式をポアソン方程式と言う。特に、真空の場合には

$$\vec{\nabla}^2 \phi(\vec{r}) = 0$$ (2.42)

となり、ラプラス方程式と言う。なお、 $\Delta = \vec{\nabla}^2$を ラプラシアンと言う。