逆ラプラス変換の例

• $$F(s)=\frac{1}{s}$$の逆ラプラス変換$f(t)$を求めよ。

  $\vert s\vert\rightarrow \infty$の時 $1/s \rightarrow 0$となるので、逆ラプラス変換 の公式を用いることができる。$t>0$の場合は、 積分経路を図9.4の$C_1$のように とる必要がある^9.5。

  図 9.4: 逆ラプラス変換の積分路。

  
  この積分経路には、特異点である$s=0$を含み、その留数より積分を求めると、
  $$\begin{eqnarray*} f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma-\infty}^{\gamma+\infty}\... ...^{st}ds =\frac{1}{2\pi i}\int_{C_1}\frac{1}{s}e^{st}ds =e^{0} =1 \end{eqnarray*}$$
  
  
  が得られる。一方、$t<0$の場合は積分経路は$C_2$になり^9.6、 その中に特異点は ないので、$f(t)=0$になる。

  従って、$F(s)=1/s$の逆ラプラス変換はヘビサイトの階段関数になることがわか る。

• $$F(s)=\frac{1}{s^2+1}$$の逆ラプラス変換$f(t)$を求め よ。

  $\vert s\vert\rightarrow \infty$の時 $1/(s^2+1) \rightarrow 0$となるので、 逆ラプラス変換の公式を用いることができる。$F(s)$の二つの極は $s=\pm i$である。図9.4で$\gamma>1$となるように とった積分経路を考える。$t>0$の場合は、 積分経路は$C_1$になる。この積分経路には、特異点である$s=\pm i$を含み、 その留数より積分を求めると、

  $$\begin{eqnarray*} f(t) &=& \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma-\infty}^{\gamma+\infty... ...ac{1}{2i} \left(e^{it} - e^{-it}\right) \nonumber \\ &=& \sin t \end{eqnarray*}$$
  
  
  が得られる。一方、$t<0$の場合は積分経路は$C_2$になり、 その中に特異点はないので、$f(t)=0$になる。