逆ラプラス変換

ある時間$t$の関数$f(t)$のラプラス変換 $\mathcal{L}(f(t))$が与えられている 時、もとの関数$f(t)$は以下の逆ラプラス変換を行うことによって求めることが できる。

$$f(t) = \left\{ \begin{array}{cc} \displaystyle \frac{1}{2 \pi i}... ...mma-i\infty}^{\gamma+i\infty}F(s)e^{st}ds & t>0 \\ 0 & t<0 \end{array}\right.$$ (9.15)

この演算を $\mathcal{L}^{-1}$と表し、

$$\begin{eqnarray*} \mathcal{L}^{-1}(F(s)) = f(t) \end{eqnarray*}$$

と書く。この公式は以下のようにして導くことができる。

$F(s)$は $\Re( s) >\gamma$で正則であると仮定する。図9.3 のような半円を正の方向に一周する積分路$C$を考える。

図 9.3: 逆ラプラス変換の積分路。

コーシーの積分定理より、$C$内の任意の点$s_0$に対して

$$F(s_0) = \frac{1}{2 \pi i} \int_C \frac{F(s)}{s-s_0}ds$$ (9.16)

となる。さらに、

$$\vert s\vert\rightarrow \infty \Rightarrow \vert F(s)\vert\rightarrow 0$$ (9.17)

を仮定すると円弧の部分の積分は0に収束する。従って、

$$F(s_0) = \frac{1}{2 \pi i }\int_{\gamma+i\infty}^{\gamma-i\infty} \frac{F(s)}{s-s_0}ds$$

$$= \frac{1}{2 \pi i }\int_{\gamma-i\infty}^{\gamma+i\infty} \frac{F(s)}{s_0-s}ds$$

である。つぎに、$t>0$の任意の$t$に対して

$$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty e^{-t(s_0-s)}dt = \left[\frac{1}{s-s_0}e^{-t(s_0-n)}\right]_0^\infty =\frac{1}{s_0-s} \end{eqnarray*}$$

であるから、$1/(s_0-s)$に上の積分を代入すると、

$$F(s) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma-i\infty}^{\gamma+i\infty} \left(F(s)\int_0^\infty e^{-t(s_0-s)}dt\right)ds$$

$$= \frac{1}{2 \pi i} \int_0^\infty \left(\int_{\gamma-i\infty}^{\gamma+i\infty} F(s) e^{-t(s_0-s)}ds\right)dt$$

$$= \frac{1}{2 \pi i} \int_0^\infty \left(\int_{\gamma-i\infty}^{\gamma+i\infty} F(s) e^{ts}ds\right)e^{-ts_0}dt$$ (9.18)

ただし、１行目から２行目は $F(s) e^{-t(s_0-s)}$ が考えている領域で 正則なので積分順序を変えることによって変形している。ラプラス変換の 定義式と式9.18を比較することにより、逆ラプラス変換の 公式が証明される。