インパルス応答の例

コイルとコンデンサーが直列に接続された回路に対するインパルス応答を考えよ う。系のダイナミクスを決定する微分方程式は

$$L \frac{di(t)}{dt}+\frac{q(t)}{C}=E(t)$$

である。時間を無次元化するために、単位時間$\tau$を導入する。

$$\frac{L}{\tau} \frac{di(t')}{dt'}+\frac{q(t')}{C}=E(t')$$

ラプラス変換を行なうと

$$\frac{L}{\tau}s\mathcal{L}(i) + \frac{1}{C}\mathcal{L}(q) = \mathcal{L}(E)+Li(0)$$

となり、 $i(t') = \frac{1}{\tau} d q/dt'$より、 $\mathcal{L}(q) = \tau (\mathcal{L}(i)+q(0))/s$で ある。今はインパルス応答を考えているので、 $E =E_0 \delta(t)$（すなわち、 $\mathcal{L}(E) =E_0$） となる。それ以外のすべての初期条件はゼロである。よって、

$$\mathcal{L}(i) = \frac{E_0}{L/\tau}\frac{s}{s^2+\frac{\tau^2}{LC}}$$

となる。ここで、$\tau^2 = LC$とすれば、

$$\mathcal{L}(i) = \frac{E_0}{L/\tau}\frac{s}{s^2+1}$$

となり、線形性と表 9.1より、

$$i(t') = \frac{E_0}{L/\tau} \cos t'$$

となることが分かる。$t$に戻すと、

$$i(t) = \frac{E_0}{L/\tau} \cos t/\tau = \frac{E_0}{\omega_0 L} \cos\omega_0 t$$

となる。ただし、最後の式変形には $\omega_0^2 = 1/LC$を用いた。

コイルとコンデンサーの直列回路にインパルスを与えると電気振動が以後継続す るという結果が得られる。