伝達関数

線形時不変システムのダイナミクスが以下の微分方程式で定義されていると しよう。

$$\sum_k a_k \left( \frac{d}{dt}\right)^k y(t) = \sum_\ell b_\ell \left( \frac{d}{dt}\right)^\ell u(t)$$ (9.12)

ここで、 $u(t) = \delta(t)$（インパルス）を考える。また、$y(t)$としては、 すべての初期条件がゼロの場合、すなわち $\frac{d^n}{dt^n}y(x)]_{t=0}=0$、 考えることにする。そのような出力をここでは特別に$y_\delta(t)$と 書くことにする。ラプラス変換を行なうと、

$$\sum_k a_k s^k \mathcal{L}\left(y_\delta(t)\right) = \sum_k b_k s^k$$ (9.13)

となる。従って、デルタ関数の入力（インパルス）に対する出力$y_\delta(t)$ をラプラス変換すると、

$$\mathcal{L}\left(y_\delta(t)\right) = G(s) = \frac{\sum_\ell b_\ell s^\ell}{\sum_k a_k s^k }$$ (9.14)

となり、これを伝達関数と呼ぶ。微分方程式から簡単に求まることに注意。