周波数応答関数

線形時不変システムの場合、以下の定理が成り立つ。

複素指数関数の入力 $u(t) = e^{i \omega t}$ に対する^9.1線形時不変システムの出力は

$$y(t) = G(i\omega)e^{i\omega t}$$

となる。ここで、$G(i\omega)$は$\omega$に関する複素関数で、周波数応答関数 と呼ばれる。

証明は次の通りである。出力 $y(t) = S(e^{i \omega t})$である。 時不変システムの定義より

$$y(t+\tau) = S(u(t+\tau))=S(u(t)u(\tau))=u(t)S(u(\tau))$$

である^9.2。ここで$\tau = 0$とおくと、

$$y(t) = S(u(0))e^{i\omega t}$$

となる。$S(u(0))$は時間$t$の関数ではないので、$G(i\omega)$と書くことによっ て定理を得る。

上の定理は角振動数$\omega$の複素指数関数（三角関数）を入力とする線形時不 変システムの出力はやはり複素指数関数（三角関数）になることを 意味している。ただし、入力$u(t)$と出力$y(t)$の間は周波数応答関数 $G(i\omega)$によって $y(t) = G(i\omega)u(t)$と結ばれている。

線形時不変システムのダイナミクスが以下の微分方程式で定義されているとしよ う。

$$\sum_k a_k \left( \frac{d}{dt}\right)^k y(t) = \sum_\ell b_\ell \left( \frac{d}{dt}\right)^\ell u(t)$$ (9.1)

$u(t) = e^{i\omega}, y(t) = G(i\omega)e^{i\omega t}$を代入すると、

$$G(i \omega)\sum_k a_k \left(i \omega\right)^k = \sum_\ell b_\ell \left( i\omega \right)^\ell$$ (9.2)

となる。従って、$G(i\omega)$は以下の有理関数で与えられることが分る。

$$G(i \omega)= \frac{\sum_k b_k \left( i\omega \right)^k} {\sum_\ell a_\ell \left( i \omega\right)^\ell }$$ (9.3)

$G(i\omega)$を求めるために微分積分を必要とせず、 加減乗除のみによって簡単に得られることに注意。