正則関数は無限回微分可能

式(8.5)を変形して、

$$f(z) = \frac{1}{2 \pi i}\oint_C \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta$$ (8.8)

が得られる。正則関数は周囲の値が得られれば、決まってしまうことを意味して いる。また、これを$z$について微分すると、

$$\frac{d f(z)}{dz} = \frac{1}{2 \pi i}\oint_C \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^2}d\zeta$$ (8.9)

となる。この微分操作を続けると

$$\frac{d^n f(z)}{dz^n} =f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2 \pi i}\oint_C \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}d\zeta$$ (8.10)

が得られ、無限回微分可能なことがわかる。