テーラーの定理

正則関数$f(z)$は次のように展開することができる。ここで、$f_n(z)$も正則で ある。

$$f(z) = \sum_{i=0}^{n-1}\frac{f^{(i)}(\alpha)}{i!}(z-\alpha)^i + f_n(z)(z-\alpha)^n$$ (8.11)

証明

$$\begin{eqnarray*} f_1(z) = \left\{ \begin{array}{lc} \displaystyle \frac{f(z)... ...a} & z\ne\alpha \\ f'(\alpha) & z=\alpha \end{array} \right. \end{eqnarray*}$$

を定義する。さらに帰納的に

$$\begin{eqnarray*} f_n(z) = \left\{ \begin{array}{lc} \displaystyle \frac{f_... ...\ne\alpha \\ f'_{n-1}(\alpha) & z=\alpha \end{array} \right. \end{eqnarray*}$$

を定義すると、

$$\begin{eqnarray*} f(z)&=& f(\alpha)+(z-\alpha)f_1(z) \\ &=& f(\alpha)+(z-\alph... ...n-1}\frac{f^{(i)}(\alpha)}{i!}(z-\alpha)^i + f_n(z)(z-\alpha)^n \end{eqnarray*}$$

となりテーラーの定理が得られる。ただし、本来ならば収束性を議論しておかな ければならないことに注意。