コーシーの積分公式

複素関数$f(z)$が正則で$\alpha$が閉曲線$C$の中にある場合は、

$$\frac{1}{2 \pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z-\alpha}dz =f(\alpha)$$ (8.5)

が成り立つ。これをコーシーの積分公式と言う。

証明

下図左の積分経路$C$に対応した右のような経路を考えることによって コーシーの積分定理を適用できる。ここで、二つのループを繋ぐ直線部分は 幾らでも近づけることによってその寄与はお互いにキャンセルするように できる。従って、

$$\oint_{C+C'^{-1}} \frac{f(z)}{z-\alpha}dz = \oint_{C} \frac{f(z)}{z-\alpha}dz-\oint_{C'} \frac{f(z)}{z-\alpha}dz =0$$ (8.6)

である。$C'$回りの向きは外側と逆向きになっていることに 注意。

図 8.2: コーシーの積分定理の証明

一方$C'$の回りの積分は

$$\oint_{C'} \frac{f(z)}{z-\alpha} = \int_0^{2\pi}\frac{f(\alpha+re^{i\theta})}{re^{i\theta}} ire^{i\theta}d\theta$$

$$= i\int_0^{2\pi} f(\alpha +re^{i\theta})d\theta$$

$$\rightarrow 2\pi i f(\alpha)$$ (8.7)

ただし、最後の式変形で $r \rightarrow 0$の極限を取っている。以上により コーシーの積分公式が証明された。