コーシーの積分定理

正則関数$f(z)$の閉曲線$C$上の積分に関して

$$\oint_C f(z)dz =0$$ (8.4)

が成り立つ。これをコーシーの積分定理と言う。

証明

$$\oint_C f(z)dz = \int_C \left( u(x,y)dx-v(x,y)dy\right) + i\int_C \left( v(x,y)dx+u(x,y)dy\right)$$

$$= \int_{\mathcal{D}} \left( -\frac{\partial u}{\partial y}dxdy -\f... ...-\frac{\partial v}{\partial y}dxdy +\frac{\partial u}{\partial x}dxdy \right)$$

$$= -\int_{\mathcal{D}} \left( \frac{\partial u}{\partial y} +\frac{... ...ft( -\frac{\partial v}{\partial y} +\frac{\partial u}{\partial x} \right)dxdy$$

ここでコーシー・リーマンの関係式を用いると積分がゼロになることが分かる。 ただし、グリーンの定理

$$\begin{eqnarray*} \int_S \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} -\frac{\parti... ...\partial y} \right)dxdy = \oint_{C} \left(\psi dx+\phi dy\right) \end{eqnarray*}$$

を用いている。