コーシー・リーマンの関係式

複素関数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$（ただし$z=x + i y$）が$z=z_0$で正則である ならば、

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$$ (2.2)

$$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$ (2.3)

が$z=z_0$で成り立つ。これをコーシー・リーマンの関係式と言う。

証明

$\Delta z \rightarrow 0$が $\Delta x \rightarrow 0$の場合を考えれば、

$$\begin{eqnarray*} &&\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(z+\Delta x) - f(z)}{\De... ...artial u(x,y)}{\partial x} +i \frac{\partial v(x,y)}{\partial x} \end{eqnarray*}$$

同様に $\Delta z \rightarrow 0$が $i \Delta y \rightarrow 0$の場合を考えれば、

$$\begin{eqnarray*} &&\lim_{\Delta y \rightarrow 0}\frac{f(z+i \Delta y) - f(z)}{i... ...\partial u(x,y)}{\partial y} +\frac{\partial v(x,y)}{\partial y} \end{eqnarray*}$$

微分可能であるためには、両者は実数部分と虚数部分がそれぞれ等しくなる必要 があるので、コーシー・リーマンの関係式が得られる。

また、コーシー・リーマンの関係式を満たしていれば、微分可能になる ことは容易に理解できるであろう。