NMR装置と信号検出

NMR装置の概略を図 11.7に示した。

図 11.7: NMR装置の概略。発振器（Oscillator）とパルス発生器 （Pulse Generator）によって 高周波パルスが生成される。高周波パルスは同調回路に導入され、コイルに 振動磁場が生成され、試験管（test tube）内の試料の磁化を制御する。 試料の磁化の運動はコイルに誘導起電力を誘起する。 この信号は増幅され、検出される。LPFとADCはそれぞれローパスフィルターと アナログ-ディジタル変換器を意味している。方向性結合器（Directional Coupler）が図で示すように、 信号の流れを制御する。混合機（mixer）は二つの入力の掛算を行なう。

高周波はパルス発生器の出力に 応じて成形され、高周波パルスになる。これらの高周波パルスは、増幅され 同調回路に導入される。そして、振動磁場（既に議論したように回転磁場と 等価）がコイルに生成され、試験管内の試料の磁化を制御する。試料の 磁化によって同調回路に誘導機電力が誘起される。この信号は増幅された後に 検出される。同調回路を用いるのは、強い振動磁場と大きな信号を得るため である。

信号の検出方法について議論しよう。もしも緩和が存在しないのならば、 xy面内の $\vec{M}=(M_{\rm x}, M_{\rm y}, 0)=M(\cos \chi, \sin \chi, 0)$ は一定である。しかしながら、横緩和のために、

$$\begin{eqnarray*} \vec{M}(t) = M (\cos \chi, \sin \chi, 0) \exp(-t/T_2), \end{eqnarray*}$$

のように減少する。ただし、$T_2 \ll T_1$を仮定し、縦緩和は 無視している。$T_2 \ll T_1$はNMRにおいては珍しくないことに注意。 実験室系で磁化をみると、

$$\begin{eqnarray*} \vec{M}'(t) = M (\cos (\omega_0 t - \chi), -\sin (\omega_0 t - \chi), 0) \exp(-t/T_2). \end{eqnarray*}$$

となる。$\omega_0$はラーモア周波数で、回転は時計回りである。 実験室系における磁化のx成分 $M \cos (\omega_0 t - \chi) \exp(-t/T_2)$ が測定できると仮定しよう^11.6 。 この信号のことを Free Induction Decay (= FID) 信号と呼ぶ。

このFID信号に $\cos \omega_{\rm ref} t$を掛算すると、

$$\begin{eqnarray*} &&M \cos (\omega_0 t -\chi) \exp(-t/T_2) \times \cos \omega_... ...\omega_{\rm ref})t-\chi) \right) \\ && \times \exp(-t/T_2) , \end{eqnarray*}$$

が得られる。ただし、 $\omega_{\rm ref} > 0$で、 $\Delta \omega = \omega _0 - \omega _{\rm ref}$とする。 高い周波数( $\Delta \omega + 2\omega_{\rm ref}$)の成分を落とすと

$$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}M \cos( \Delta \omega \,t -\chi) \exp(-t/T_2) . \end{eqnarray*}$$

が得られる。この操作はカットオフ周波数が $2 \,\omega_{\rm ref}$より 十分低いローパスフィルターに信号を通すことによって 行なわれる。同様に、FID信号に $\sin \omega_{\rm ref }t$を掛算することによって、

$$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}M \sin( \Delta \omega \,t -\chi) \exp(-t/T_2) , \end{eqnarray*}$$

が得られる。周波数の大きさの程度は $\omega_{\rm ref} \sim \omega_0 \sim 100~{\rm MHz}$, $\Delta \omega \sim 10~{\rm kHz}$、 そして $1/T_2 \sim 1~{\rm Hz}$ となっていることに注意。次に複素数の関数

$$\begin{eqnarray*} s(t) &=& M\left( \cos (\Delta \omega t - \chi)+ i\sin (\Delt... ...r \\ &=& M \exp(- i \chi) \exp (i \Delta \omega t )\exp(-t/T_2) \end{eqnarray*}$$

を定義しよう。ただし、$t<0$では、$s(t)=0$とする。フーリエ変換によって $s(t)$を周波数空間の関数（スペクトル）に変換すると、

$$\begin{eqnarray*} S(\omega) &=& \int_{-\infty}^{\infty}s(t)\exp(-i\omega \, t)d... ...(\omega-\Delta \omega)} {(1/T_2)^2 + (\omega-\Delta \omega)^2}. \end{eqnarray*}$$

となる。

図 11.8: 吸収および分散スペクトル。 吸収曲線の極大を与える周波数から $\Delta \omega = \omega_0 - \omega_{\rm ref}$がわかり、$M$と$T_2$は極大の高さと半値全幅(FWHH)から求まる。

もしも、$\chi = 0$ならば, $S(\omega)$ の実数部分は中心を $\Delta \omega$とする吸収（ローレンツ）曲線

$$\Re(S(\omega)) = \frac{M/T_2 }{(1/T_2)^2 + (\omega-\Delta \omega)^2}.$$

になる。 $\omega=\Delta \omega$における高さが$M T_2$を与え、 $\Re(S(\omega)) > M T_2 /2$となる領域（半値全幅、FWHHと呼ぶ）が $1/\pi T_2$を与える。 このようにして、$T_2$と$M$をスペクトルから求めることができる。 一方、$S(\omega)$の虚数部分は分散（ローレンツ）曲線

$$\Im(S(\omega)) = - \frac{M(\omega-\Delta \omega) }{(1/T_2)^2 + (\omega-\Delta \omega)^2}.$$

を与える。 $\chi \neq 0$の場合には、スペクトルの実数部分、虚数部分は吸収曲線と分散 曲線の線形結合になる。