保存力

質点が位置$\vec{r}$に依存した力 $\vec{F}(\vec{r})$の下で、 ある基準点AからP点までゆっくりと（加速度を生じないように）移動する 場合を考える。このような移動の際、外部からその力 $\vec{F}(\vec{r})$と 大きさがほとんど等しく、逆向きの力を加えないといけない。従って、 点Pまで移動する際に外から与えなければならない仕事$W$は

$$W({\rm P}) = \int_{\rm A}^{\rm P} (-\vec{F}(\vec{r}))\cdot d\vec{r}$$ (2.11)

である。もしも、$W({\rm P})$が途中の経路によらず、位置Pのみの関数である 場合に、 $\vec{F}(\vec{r})$は保存力であるという。

この保存力の下で、二つの経路$C_1, C_2$を通って基準点Aから点Pに 達する場合を考えよう。保存力の定義より、

$$\int_{ C_1} (-\vec{F}(\vec{r}))\cdot d\vec{r} = \int_{ C_2} (-\vec{F}(\vec{r}))\cdot d\vec{r}$$ (2.12)

となる。書きかえると、

$$\int_{ C_1} \vec{F}(\vec{r})\cdot d\vec{r} - \int_{C_2} \vec{F}(\vec{r})\cdot d\vec{r}$$

$$= \int_{ C_1} \vec{F}(\vec{r})\cdot d\vec{r} +\int_{{- C}_2} \vec{F}(\vec{r})\cdot d\vec{r}$$ (2.13)

$C_1$と$-C_2$の経路は基準点Aから点Pを通って 基準点Aに戻る経路であり、閉曲線になる。その閉曲線を$C$ であらわすと、

$$\int_{ C} \vec{F}(\vec{r})\cdot d\vec{r} =0$$ (2.14)

となる。

保存力の場合、位置$\vec{r}$の関数$\phi(\vec{r})$を定義して、

$$\vec{F}(\vec{r}) = -\vec{\nabla}\phi(\vec{r})$$ (2.15)

とすることができる。これは

$$\left( \phi(\vec{r}+\delta\vec{r}) - \phi(\vec{r})\right) = - \vec{F}\cdot \delta \vec{r}$$ (2.16)

から導かれる。