電界の境界条件

電界に関する境界条件を考えるために、図3.15のように境界上の点 $\vec{r}_1$をとる。

図 3.15: 電界の境界条件

その周囲を囲む境界面にまたがった経路$abcd$を考えて、 式3.40bの積分形 $\oint_C \vec{E}\cdot d\vec{s}=0$を適用する。

$$\begin{eqnarray*} && \oint_C \vec{E}\cdot d\vec{s} \\ &=& \int_{ab} \vec{E}\cdo... ...nt_{bc} \vec{E}\cdot d\vec{s} + \int_{da} \vec{E}\cdot d\vec{s} \end{eqnarray*}$$

$bc$と$da$の経路はいくらでも小さくできるので、無視することにする。また、 経路$ab$と$cd$では$\vec{E}$は一定と見なせるので、

$$\begin{eqnarray*} && \oint_C \vec{E}\cdot d\vec{s} \\ &=& \vec{E}_1\cdot \vec{t... ...E}_1\cdot \vec{t} - \vec{E}_2 \cdot \vec{t} \}\Delta s \\ &=& 0 \end{eqnarray*}$$

となる。ここで$\vec{t}$は境界面に平行な単位ベクトルである。従って、

$$\vec{E}_1\cdot \vec{t} = \vec{E}_2 \cdot \vec{t}$$ (3.35)

の関係が成り立たないといけない。