ベクトル解析を応用した電磁波の方程式の導出

マクスウェルの方程式から波動方程式を導出するときに、まず平面波を仮定して 導出した。ここでは、ベクトル解析の手法を用いて、一般の場合の波動方程式を 導出しよう。

真空中のマクスウェルの方程式は、

となる。まず、式3.31cの両辺に $\vec{\nabla}\times$を作用させると、

$$\vec{\nabla}\times\{ \vec{\nabla}\times \vec{E}(\vec{r},t)\} +\vec{\nabla}\times\{ \frac{\partial \vec{B}(\vec{r},t)}{\partial t}\}=0$$ (3.27)

左辺第1項はベクトル解析の公式と真空であること （ $\vec{\nabla}\cdot \vec{E}=0$）より、 $-\nabla^2 \vec{E}$になる。 一方、式3.31dを時間で微分して空間 と時間の微分の順序を変えれば、第2項は $\varepsilon_0 \mu_0 \partial_t^2\vec{E}$となる。以上により、

$$\nabla^2 \vec{E}(\vec{r},t) -\varepsilon_0 \mu_0 \partial_t^2 \vec{E}(\vec{r},t)=0$$ (3.28)

が得られる。これは、波動方程式になっている。