問題3.2.6

キャパシター$C$、抵抗$R$、スイッチ$S$が直列回路を構成している。 最初キャパシターには電荷$Q_0$が蓄えられていた。

1. スイッチを閉じた後のキャパシターの電圧、抵抗に流れる電流を求めよ。
2. 抵抗$R$で発生するジュール熱と最初キャパシター$C$に蓄えられていた エネルギーを比較せよ。

===== 解答 =====

1. $$\begin{eqnarray*} \frac{Q}{C} + R I = 0 \end{eqnarray*}$$
   
   
   だから、
   $$\begin{eqnarray*} \frac{Q}{C} + R \frac{d Q}{dt} = 0 \end{eqnarray*}$$
   
   
   となる。この微分方程式を解けば、
   $$\begin{eqnarray*} Q(t) = Q_0 e^{-t/T} \end{eqnarray*}$$
   
   
   ただし、$T = CR$である。キャパシターに現れる電圧は $Q/C$、抵抗に流れる電流は $$-\frac{Q_0}{T} e^{-t/T}$$ である。

2. $$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty}R I^2 dt &=& R \left(\frac{Q_0}{T} \right)^2 ... ...frac{1}{2}R \frac{Q_0^2}{T} \\ &=& \frac{1}{2} \frac{Q_0^2}{C} \end{eqnarray*}$$
   
   
   となり、最初キャパシターに蓄えられていたエネルギーに等しい。