問題3.1.5

半径$a_1,a_2$($a_2 > a_1$)の2本の金属管により、 同軸ケーブルを作った。一端には抵抗$R$ を、他端には電源をつなぎ電流$I$を流した。

1. アンペールの法則を用いて、同軸ケーブルの内外に生じる磁界を求めよ。
2. 長さが$\ell$の場合、この同軸ケーブルの自己インダクタンスを求めよ。 磁束が貫く面積は $\ell \times (a_2-a_1)$である。

===== 解答 =====

1. 中心導体を中心として半径$r$（$a_1 < r < a_2$）の円を経路 として、アンペールの法則を適用する。このとき、
   $$\begin{eqnarray*} 2 \pi r B(r) = \mu_0 I \end{eqnarray*}$$
   
   
   であるから、
   $$\begin{eqnarray*} B(r) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} \end{eqnarray*}$$
   
   
   となる。$r > a_2$の場合には、正味の電流はないので、$B(r)=0$となる。

2. 回路を貫く磁束は、
   $$\begin{eqnarray*} \Phi &=& \ell \int_{a_1}^{a_2}B(r)dr \\ &=& \frac{\mu_0 I \... ...c{1}{r }dr \\ &=& \frac{\mu_0 I \ell}{2 \pi } \log(a_2/a_1) \end{eqnarray*}$$
   
   
   定義より、
   $$\begin{eqnarray*} L &=& \frac{\mu_0 \ell}{2 \pi } \log(a_2/a_1) \end{eqnarray*}$$
   
   
   となる。