問題2.5.1

電気伝導度の異なる金属（それぞれの電気伝導度を $\sigma_1, \sigma_2$とす る）が平面で接触し、その面に垂直に電流が 流れている。この電流の電流密度を$\vec{i}$とし、境界面に現れる 電荷密度を求めよ。

===== 解答 =====

接触面に垂直な方向のみ議論する。各金属内の電場の大きさを$E_1, E_2$とする と、電流は一定だから、 $\sigma_1 E_1 = \sigma_2 E_2$である。電場は不連続 になっているので、ガウスの法則より電荷が存在するはずである。その面密度を $\sigma$とすれば、

$$\begin{eqnarray*} S \varepsilon (E_2 -E_1) = S \sigma \end{eqnarray*}$$

となる。従って、

$$\begin{eqnarray*} \sigma = \varepsilon i \left( \frac{1}{\sigma_2} - \frac{1}{\sigma_1}\right) \end{eqnarray*}$$

となる。