問題

問題8.1 以下の積分経路について$\int_C zdz$を計算せよ。

1. $C1:$原点から$z = a+ib$を結ぶ直線
2. $C2:$曲線 $(x,\frac{b}{a^2}x^2)$
3. $C3:$ $z=0, z=a,z=a+ib$を結ぶ折れ線

===== 解答 =====

1. $$\begin{eqnarray*} \int_{C_1}zdz &=& \int_0^1 (at+ibt)(a+ib)dt \\ &=& (a+ib)^2 \int_0^1 tdt \\ &=& \frac{1}{2}(a+ib)^2 \end{eqnarray*}$$
   
   

2. $$\begin{eqnarray*} \int_{C_2}zdz &=& \int_0^1 (at+ibt^2)(a+2ibt)dt \\ &=& \int_0^1 (a^2t+3iabt^2-2b^2t^3) dt \\ &=& \frac{1}{2}(a+ib)^2 \end{eqnarray*}$$
   
   

3. $$\begin{eqnarray*} \int_{C_3}f(z)dz &=& \int_0^a t dt + \int_0^b (a+it)idt \\ &... ...{2}+ \left( iab-\frac{b^2}{2}\right)\\ &=& \frac{1}{2}(a+ib)^2 \end{eqnarray*}$$
   
   

問題8.2 以下の積分経路について$\int_C z^* dz$を計算せよ。

1. $C1:$原点から$z = a+ib$を結ぶ直線
2. $C2:$曲線 $(x,\frac{b}{a^2}x^2)$
3. $C3:$ $z=0, z=a,z=a+ib$を結ぶ折れ線

===== 解答 =====

1. $$\begin{eqnarray*} \int_{C_1}z^*dz &=& \int_0^1 (at-ibt)(a+ib)dt \\ &=& (a^2+b^2) \int_0^1 tdt \\ &=& \frac{1}{2}(a^2+b^2) \end{eqnarray*}$$
   
   

2. $$\begin{eqnarray*} \int_{C_2}z^*dz &=& \int_0^1 (at-ibt^2)(a+2ibt)dt \\ &=& \in... ... +iabt^2+2b^2t^3)dt \\ &=& \frac{1}{2}(a^2+b^2)+i\frac{1}{3}ab \end{eqnarray*}$$
   
   

3. $$\begin{eqnarray*} \int_{C_3}f(z)dz &=& \int_0^a t dt + \int_0^b (a-it)idt \\ &... ...\left( iab+\frac{b^2}{2}\right)\\ &=& \frac{1}{2}(a^2+b^2)+iab \end{eqnarray*}$$
   
   

問題8.3 $z=0$を出発して$z=a, z=a+ib$を経由して$z=0$と戻る直角三角形の経路を$C$ として、

1. $\oint_C z dz$
2. $\oint_C z^*dz$

を計算せよ。

===== 解答 =====

前問の解答より各辺の積分は求められている。従って、

1. $$\begin{eqnarray*} \oint_C z dz &=& \int_{C_3}z dz + \int_{C_1^{-1}}zdz \\ &=& \int_{C_3}z dz - \int_{C_1}zdz \\ &=& 0 \end{eqnarray*}$$
   
   

2. $$\begin{eqnarray*} \oint_C z dz &=& \int_{C_3}z^* dz + \int_{C_1^{-1}}z^*dz \\ &=& \int_{C_3}z^* dz - \int_{C_1}z^*dz \\ &=& iab \end{eqnarray*}$$
   
   

問題8.4 経路として半径1の円周をとり$z=1$から反時計回り（正の向き）に1周する場合 の$z, z^*, 1/z$の複素積分を求めよ。

===== 解答 =====

1. $$\begin{eqnarray*} \oint_C zdz &=& \int_0^{2\pi} e^{it} ie^{it}dt \\ &=& i \int_0^{2\pi} e^{2it}dt \\ &=& 0 \end{eqnarray*}$$
   
   

2. $$\begin{eqnarray*} \oint_C z^*dz &=& \int_0^{2\pi} e^{-it} ie^{it}dt \\ &=& i \int_0^{2\pi} e^{0}dt \\ &=& 2\pi i \end{eqnarray*}$$
   
   

3. $$\begin{eqnarray*} \oint_C \frac{1}{z}dz &=& \int_0^{2\pi} e^{-it} ie^{it}dt \\ &=& i \int_0^{2\pi} e^{0}dt \\ &=& 2\pi i \end{eqnarray*}$$
   
   

問題8.5

1. 複素関数$f$について
   $$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial z^*} = \frac{1}{2}\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{i}{2}\frac{\partial f}{\partial y} \end{eqnarray*}$$
   
   
   となることを示せ。

   ヒント： $x=(z+z^*)/2, y=(z-z^*)/2i$

2. $$\begin{eqnarray*} \oint_C f(z)dz =2i \int_{\mathcal{D}} \frac{\partial f}{\partial z^*}dxdy \end{eqnarray*}$$
   
   
   を証明せよ。ただし、$\mathcal{D}$は閉曲線$C$で囲まれた領域である。

   ヒント：グリーンの定理

   $$\begin{eqnarray*} \int_S \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} -\frac{\parti... ...\partial y} \right)dxdy = \oint_{C} \left(\psi dx+\phi dy\right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   を用いる。

3. $$\begin{eqnarray*} (\mathcal{D}{\rm の面積})=\int_{\mathcal{D}} dxdy = \frac{1}{2i}\oint_Cz^* dz \end{eqnarray*}$$
   
   
   を証明せよ。

===== 解答 =====

1. $\partial x/ \partial z^*=1/2, \partial y/\partial z^* =i/2$を用いて、
   $$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial z^*} &=& \frac{\partial f}{\partia... ...tial x} \frac{1}{2} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{i}{2} \end{eqnarray*}$$
   
   

2. $$\begin{eqnarray*} \oint_C f(z)dz &=& \int_C \left( u(x,y)dx-v(x,y)dy\right) \\ ... ...\ &=& 2 i \int_{\mathcal{D}}\frac{\partial f}{\partial z^*}dxdy \end{eqnarray*}$$
   
   

3. 上の式に$f(z)=z^*$を代入すれば得られる。

問題8.6

半径2で原点を中心とする円を経路$C_1$, 半径1で中心を$-i$とする円 （$\vert z-i\vert =1$）を経路$C_2$とする。 それぞれの経路に対して

• $$f(z) = \frac{1}{z-1}$$
• $$f(z) = \frac{1}{z-i}$$
• $$f(z) = \frac{1}{z^2-1}$$
• $$f(z) = \frac{1}{z^2+1}$$

の複素積分を留数定理を用いて求めよ。

図 8.3: 複素積分のパス

===== 解答 =====

• $$f(z) = \frac{1}{z-1}$$だから、 $z=1$において留数1を持つ。$C_1, C_2$の経路の 複素積分はそれぞれ、$2\pi i, 0$となる。
• $$f(z) = \frac{1}{z-i}$$ だから、 $z=i$において留数1を持つ。$C_1, C_2$の経路の 複素積分はそれぞれ、 $2\pi i, 2\pi i$となる。
• $$f(z) = \frac{1}{z^2-1}= \frac{1}{2}(\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z+1})$$ だから、 $z=\pm 1$において留数$\pm 1/2$を持つ。$C_1, C_2$の経路の 複素積分はそれぞれ、$2\pi i, 0$となる。
• $$f(z) = \frac{1}{z^2+1}= \frac{1}{2i}(\frac{1}{z-i}-\frac{1}{z+i})$$ だから、 $z=\pm i$において留数$1/2i$を持つ。$C_1, C_2$の経路の 複素積分はそれぞれ、$2\pi,\pi$となる。

問題8.7

実変数関数 $$g(x)=\frac{1}{x^2+1}$$のフーリエ変換

$$\begin{eqnarray*} G(\omega) = \int_{-\infty}^\infty g(x)e^{-i\omega x}dx \end{eqnarray*}$$

を以下の手順に従って計算せよ。ただし、$\omega>0$とする。

1. 経路$C_1+C_2$の$f(z)$の複素積分を留数定理を用いて計算せよ。
2. 複素関数 $$f(z) = \frac{1}{z^2+1}$$を考え、
   
   $$\lim_{R \rightarrow \infty} \left\vert \int_{C_2} f(z)e^{-i\omega z}dz\right\vert$$
   
   
   を求めよ。
3. $G(\omega)$は何になるか？

図 8.4: 複素積分のパス

===== 解答 =====

1. 複素関数 $$f(z)e^{-i \omega z} = \frac{e^{-i\omega z}}{2i} \left(\frac{1}{z-i}-\frac{1}{z+i}\right)$$ と変形できるので、その留数は$z=\pm i$において $\pm \frac{e^{\pm \omega}}{2i}$となる。 考えている積分経路では$z=-i$が入っているから、 留数定理より複素積分は $\pi e^{-\omega}$となる。経路 $C_1+C_2$は負の向きに成っていることに注意のこと。

2. $$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z^2+1}e^{-i\omega z} dz &=& \frac{1}{R^2 e^{2 i \thet... ...ta }} {R^2 e^{2 i \theta}+1} e^{\omega R \sin \theta}d\theta \\ \end{eqnarray*}$$
   
   
   $$\begin{eqnarray*} \left\vert\int_{C_2} \frac{1}{z^2+1}e^{-i\omega z} dz \right\v... ...vert \left\vert e^{\omega R \sin \theta} \right\vert d\theta \\ \end{eqnarray*}$$
   
   
   ここで、 $0\ge \theta \ge -\pi$において $\sin \theta \le 0$なので、 $\left\vert e^{\omega R \sin \theta} \right\vert<1$となる。また、 $$\lim_{R \rightarrow \infty}\left\vert\frac{R}{R^2 e^{2 i \theta}+1}\right\vert=0$$ である。従って、極限値は0になることがわかる。

3. 以上の考察により、 $G(\omega) = \pi e^{-\omega}$となる。

問題8.8

$$\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx$$

を以下の手順に従って求めよ。

1. 
   
   $$\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx = \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{ix}}{2ix}dx$$
   
   
   を示せ。
2. 経路 $C_1+C_2+C_3+C_4$に沿って $$f(z)= \frac{e^{iz}}{2iz}$$ の複素積分を行え。
3. $$\lim_{R \rightarrow \infty }\int_{C_1} f(z)dz$$ を計算せよ。
4. 経路$C_3$の$f(z)$の複素積分を求めよ。
5. 求める値はいくらか？

図 8.5: 複素積分のパス

===== 解答 =====

1. オイラーの公式を使って、
   $$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty\frac{\sin x}{x}dx &=& \int_0^\infty \frac{e^{ix... ...^{ix}}{2ix}dx \\ &=& \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{ix}}{2ix}dx \end{eqnarray*}$$
   
   

2. $f(z)$は$z=0$にしか留数を持たないので、この経路の複素積分はゼ ロになる。

3. $$\begin{eqnarray*} \lim_{R \rightarrow \infty }\int_{C_1} \frac{e^{iz}}{2iz}dz &=... ...2}\int_0^\pi e^{iR \cos \theta} e^{ -R \sin \theta} d\theta \\ \end{eqnarray*}$$
   
   
   $$\begin{eqnarray*} \left\vert \lim_{R \rightarrow \infty }\int_0^\pi e^{ -R \sin... ...ightarrow \infty} \pi e^{- \pi N } \right) \right\vert\\ &=& 0 \end{eqnarray*}$$
   
   
   ここで、 $R \rightarrow \infty$の時、$R = N^2$を保ったまま無限大の極限を 取ることにしている。

4. $$\begin{eqnarray*} \lim_{r \rightarrow 0} \int_{C_3} \frac{e^{i z}}{2i z }dz &=& ... ...eta\\ &=& \frac{1}{2}\int_\pi^0 d\theta\\ &=& - \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$$
   
   

5. $$\begin{eqnarray*} 0&=& \lim_{R \rightarrow \infty} \lim_{r \rightarrow 0} \int_{... ...{C_3}f(z)dz\\ &=& \int_{-\infty}^\infty f(z)dz - \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$$
   
   
   従って、求める定積分の値は $$\frac{\pi}{2}$$となる。