留数定理

複素関数$f(z)$が正則関数$f_h(z)$によって

$$f(z) = \frac{f_h(z)}{(z-\alpha)^h}$$ (8.13)

と表される時、$f(z)$は$h$位の極を持つという。また、このときテーラーの定 理を使うことによって、

$$f(z) = \frac{b_{-h}}{(z-\alpha)^h}+\dots +\frac{b_{-1}}{z-\alpha}+b_0+ b_1(z-\alpha)+ \dots$$ (8.14)

と表すことができる。

$k \ne 1$の時、

$$\oint_C \frac{1}{(z-\alpha)^k} dz =- \oint_C \frac{1}{(k-1)(z-\alpha)^{k-1}} = 0$$

である。一方、$b_k (k>0)$の項についても積分はゼロになる。 従って、

$$\oint_C f(z)dz = \oint_C \frac{b_{-1}}{z-\alpha}dz =2\pi ib_{-1}$$ (8.15)

となる。すなわち、留数$b_{-1}$を何らかの方法で求めることができれば その複素積分は簡単に計算することができる。