問題

問題5.1

図5.9のような回路の各抵抗に流れる電流を

1. キルヒホッフの法則
2. 重ね合わせの原理

を用いた二通りの方法で求めよ。

図 5.9:

===== 解答 =====

• $R_1, R_2, R_3$に流れる電流をそれぞれ、$I_1, I_2, I_3$とする。 $E_1, R_1, R_2, E_2$のループに対して
  
  $$E_1 - R_1 I_1 -R_2 I_2 - E_2 =0$$
  
  
  $R_2, E_2, E_3, R_3$のループに対して
  
  $$-R_2 I_2 +E_2-R_3I_3 -E_3=0$$
  
  
  また、
  
  $$I_1 = I_2+I_3$$
  
  
  である。連立方程式を解くと、
  $$\begin{eqnarray*} I_1 &=& \frac{ E_1R_2-E_3R_2+E_1R_3-E_2R_3}{R_1R_2+R_1R_3+R_2R... ..._3 &=& \frac{ E_2R_1-E_3R_1+E_1R_2-E_3R_2}{R_1R_2+R_1R_3+R_2R_3} \end{eqnarray*}$$
  
  

• $E_1$しかない場合の電池に繋がれている抵抗の合成抵抗は、
  
  $$R_1+\frac{R_2R_3}{R_2+R_3}$$
  
  
  各抵抗に流れる電流を $I_{11}, I_{12},I_{13}$とすると、
  $$\begin{eqnarray*} I_{11} &=& \frac{E_1}{R_1+\frac{R_2R_3}{R_2+R_3}},\\ I_{12} &... ...2}{1/R_2+1/R_3}, \\ I_{13} &=& I_{11}\frac{1/R_3}{1/R_2+1/R_3} \end{eqnarray*}$$
  
  
  となる。これらを整理すると、
  $$\begin{eqnarray*} I_{11} &=& \frac{E_1(R_2+R_3)}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1},\\ I_{12... ...R_3+R_3R_1},\\ I_{13} &=& \frac{E_1 R_2 }{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1} \end{eqnarray*}$$
  
  
  となる。同様に $I_{21}, I_{22}, I_{23}$
  $$\begin{eqnarray*} I_{21} &=& -\frac{E_2 R_3 }{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1},\\ I_{22} &... ...R_3+R_3R_1},\\ I_{23} &=& \frac{E_2 R_1 }{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1} \end{eqnarray*}$$
  
  
  と $I_{31}, I_{32}, I_{33}$を求めれば、
  $$\begin{eqnarray*} I_{31} &=& -\frac{E_3 R_2 }{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1},\\ I_{32} &... ..._3R_1},\\ I_{33} &=& -\frac{E_3(R_1+R_2)}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1} \end{eqnarray*}$$
  
  
  となる。 $I_1 = I_{11}+I_{21}+I_{31}$などより解が得られる。

問題5.2

図5.10のようなホィートストン・ブリッジを 考えよう。$R_5$の両端の接続点を端子対と考えて鳳-テブナンの定理を 適用せよ。

1. $R_5$の抵抗が無限大の場合、その両端にかかる電圧を求めよ。
2. 電源を短絡した場合、$R_5$からみた回路の合成インピーダンスを求めよ。
3. $R_5$に流れる電流を求めよ。

図 5.10:

===== 解答 =====

1. $R_5$がない時、$R_1$と$R_2$の間の電圧$V_1$は $V_1 = R_2/(R_1+R_2)E$である。 一方、$R_3$と$R_4$の間の電圧$V_3$は $V_3 = R_4/(R_3+R_4)E$である。 従って、$R_5$にかかる電圧$V$は
   $$\begin{eqnarray*} V &=& \left(R_2/(R_1+R_2) - R_4/(R_3+R_4)\right)E \\ &=& \frac{R_2R_3 -R_1R_4}{(R_1+R_2)(R_3+R_4)}E \end{eqnarray*}$$
   
   

   である。

2. 鳳-テブナンの定理の合成抵抗$R$は$R_1$と$R_2$の並列抵抗が $R_3$と$R_4$の並列抵抗が直列に接続されているので、
   $$\begin{eqnarray*} R &=& \frac{R_1 R_2}{R_1+R_2}+ \frac{R_3 R_4}{R_3+R_4} \\ &=& \frac{R_1R_2(R_3+R_4)+R_3R_4(R_1+R_2)}{(R_1+R_2)(R_3+R_4)} \end{eqnarray*}$$
   
   
   である。
3. $R_5$に流れる電流$I$は、
   $$\begin{eqnarray*} I &=& \frac{V}{R+R_5} \\ &=& \frac{ \frac{R_2R_3 -R_1R_4}{(R... ...1R_4)E} {R_1R_2(R_3+R_4)+(R_1+R_2)R_3R_4+(R_1+R_2)(R_3+R_4)R_5} \end{eqnarray*}$$
   
   
   となる。

キルヒホッフの法則を用いて計算を行なう場合、連立方程式を解く必要がありそ の計算の手間は大変である。