閉回路を貫く磁束による起電力

閉回路を貫く時間的に変動する磁束を$\Phi(t)$とした場合、その閉回路には

$$\phi_{em} = - \frac{d\Phi}{dt}$$ (3.1)

の起電力が生じる。その閉回路を貫く磁束は磁束密度 $\vec{B}(\vec{r})$を用いて、

$$\Phi = \int_S \{\vec{B}(\vec{r})\cdot \vec{n}(\vec{r})\}dS$$ (3.2)

と表される。負号の意味は 「電磁誘導によって生じる起電力によって電流が流れた場合、その 電流の作る磁場は起電力の原因となった磁束の変化を減らす方向 に生じる」ことを意味している。このことを特に「レンツの法則」 と言うこともある。

ここで$S$は閉回路を境界とする任意の曲面である。 $\vec{n}(\vec{r})$は回路の向きを決めておき、その向きに回転する右ネジの進 む向きを正とするようなその曲面に対する法線ベクトルである。

ここで、$\Phi$は曲面の取り方に依存しないことを証明しておこう。まず、閉回 路を境界とする任意の二つの曲面$S_1,S_2$を考え、それらを貫く磁束をそれぞ れ$\Phi_1,\Phi_2$とする。

$$\Phi_1 = \int_{S_1} \{\vec{B}(\vec{r})\cdot \vec{n}(\vec{r})\}dS$$

$$\Phi_2 = \int_{S_2} \{\vec{B}(\vec{r})\cdot \vec{n}(\vec{r})\}dS$$ (3.3)

二つの曲面をあわせたもの$S$は閉曲面になるので、ガウスの法則により、

$$\int_{S_1+S_2} \{\vec{B}(\vec{r})\cdot \vec{n}(\vec{r})\}dS =0$$ (3.4)

である。ここで、曲面$S_1,S_2$を独立に考えた場合の法線の向きと二つを組み 合わせて閉曲面を作ったときの法線の向きに注意すると、

$$\begin{eqnarray*} && \int_{S_1+S_2} \{\vec{B}(\vec{r})\cdot \vec{n}(\vec{r})\}dS... ...vec{B}(\vec{r})\cdot \vec{n}(\vec{r})\}dS \\ &=& \Phi_1 -\Phi_2 \end{eqnarray*}$$

以上により、

$$\Phi_1=\Phi_2$$ (3.5)

となり、曲面$S$の取り方に依存しないことが証明された。