複素関数の線積分

複素平面上に向きを持った曲線$C$を考えて、

$$\int_C f(z)dz = \lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^Nf(z_i)\Delta z_i$$ (8.1)

によって線積分を定義する。この積分のことを複素積分と呼ぶ。

図 8.1: 複素積分

実数部分と虚数部分に分けて計算すると

$$\int_C f(z)dz$$

$$= \int_C \left( u(x,y)dx-v(x,y)dy\right) + i\int_C \left( v(x,y)dx+u(x,y)dy\right)$$ (8.2)

となる。実際に計算する場合は、$(x,y)$をパラメータ表示にして

$$\int_C f(z)dz = \int_C \left(u(x(t),y(t))\frac{dx}{dt}-v(x(t),y(t))\frac{dy}{dt}\right)dt \nonumber$$

$$+ i \int_C \left( v(x(t),y(t))\frac{dx}{dt}+u(x(t),y(t))\frac{dy}{dt}\right)dt$$ (8.3)

を計算する。