問題

問題2.1 複素数の基本的な性質を確認せよ。

===== 解答 =====

省略。

問題2.2 二つの複素数$\alpha, \beta$の大きさが両方とも1より小さい場合、 次の不等式

$$\left\vert \frac{\alpha -\beta}{1-\alpha^* \beta} \right\vert< 1$$

が成り立つことを示せ。

===== 解答 =====

$$\begin{eqnarray*} && \left\vert \frac{\alpha -\beta}{1-\alpha^* \beta} \right\ve... ...ftrightarrow& (\vert\alpha\vert^2-1)(\vert\beta\vert^2-1) >0 \\ \end{eqnarray*}$$

問題2.3

1. $\vert z_1\vert\le 1, \vert z_2\vert\le 1,$ならば、 $\vert z_1+z_2\vert \le 2$となることを 複素平面を使って説明せよ。
2. $\vert z_1\vert\le 1, \vert z_2\vert\le 1,$ならば、 $\vert Z_1+z_2\vert \le 2$となることを 計算によって説明せよ。
3. 任意の$z_1, z_2$に対して $\vert z_1-z_2\vert \le \vert z_1\vert+\vert z_2\vert$となることを 複素平面を使って説明せよ。
4. 任意の$z_1, z_2$に対して $\vert z_1-z_2\vert \le \vert z_1\vert+\vert z_2\vert$となることを 計算によって説明せよ。

===== 解答 =====

1. $z_1+z_2$の複素平面上の位置は $(u_1+u_2, v_1+v_2)$となる。この点は 原点から半径2の円より外にでることはない。

2. $$\begin{eqnarray*} \vert z_1+z_2\vert^2 &=& \vert z_1\vert^2 + \vert z_2\vert^2 + z_1^*z_2 +z_1 z_2^* \\ &\le& 1+1+1+1 \end{eqnarray*}$$
   
   
   従って、証明できた。
3. 原点、$z_1, z_2$に対応する点を各頂点とする三角形を考える。説明す べき式は「三角形の2辺の和は残りの辺よりも長い」という三角不等式を表してい ることになる。

4. $$\begin{eqnarray*} &&\vert z_1-z_2\vert \le \vert z_1\vert+\vert z_2\vert \\ &... ...ghtarrow& -z_1z_2^* -z_1z_2^* \le 2\vert z_1\vert\vert z_2\vert \end{eqnarray*}$$
   
   
   $z_1=0, {\rm or}\,\, z_2=0$ならば、等号が成立する。 ここで、 $-z_1^* z_2/\vert z_1\vert\vert z_2\vert \rightarrow \alpha$と置けば、
   $$\begin{eqnarray*} &\Leftrightarrow& \alpha+\alpha^* = \vert\alpha+\alpha^*\vert \le 2 \end{eqnarray*}$$
   
   
   となる。ここで$\vert\alpha\vert\le 1$なので、(1,2)より証明が終わる。

問題2.4 以下の複素数に対して極形式 $z=r(\cos \theta +i \sin \theta)$を求めよ。

1. $z=\sqrt{3}+i$
2. $z=-1+\sqrt{3}\, i$
3. $z=i$

===== 解答 =====

1. $z=2(\cos \pi/6+i \sin \pi/6)$
2. $z=2(\cos \frac{2}{3}\pi +i \sin \frac{2}{3}\pi)$
3. $z=1(\cos \pi/2 + i \sin \pi/2)$

問題2.5 $z_1 = \cos \theta_1 + i \sin \theta_1$, $z_2 = \cos \theta_2 + i \sin \theta_2$とする。

1. $z_1/z_2$を計算せよ。
2. $z_2$で割ることの複素平面上の意味を説明せよ。

===== 解答 =====

1. $z_1/z_2= e^{i\theta_1}e^{-i \theta_2}=e^{i(\theta_1-\theta_2)}$
2. $\theta_2$だけ逆回転すること。

問題2.6 オイラーの公式を証明せよ。

===== 解答 =====

$$\begin{eqnarray*} e^{i\theta} &=& \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{[d^k e^{i \theta... ... \frac{1}{5!}\theta^5+ \dots )\\ &=& \cos \theta +i \sin \theta \end{eqnarray*}$$

問題2.7 オイラーの公式を用いて、以下の計算を行なえ。

ヒント： $e^{i(\theta_1+\theta_2)} = e^{i \theta_1}e^{i\theta_2}$

1. $\cos(\theta_1+\theta_2)$
2. $\cos(\theta_1-\theta_2)$
3. $\sin(\theta_1+\theta_2)$
4. $\sin(\theta_1-\theta_2)$

===== 解答 =====

$$\begin{eqnarray*} &&\cos(\theta_1\pm\theta_2)+i\sin(\theta_1\pm\theta_2) \\ &=&... ...& i(\sin \theta_1 \cos \theta_2 \pm \cos \theta_1 \sin \theta_2) \end{eqnarray*}$$

問題2.8 ド・モアブルの公式を使って以下の方程式の解を求めよ。

1. $z^3=1$
2. $z^4 =1$
3. $z^4 = -1$

===== 解答 =====

1. $\cos 3 \theta = 1, \sin 3 \theta =0$より、 $\theta = 0, 2\pi/3, 4\pi/3$.
2. $\cos 4 \theta = 1, \sin 4 \theta =0$より、 $\theta = 0, \pi/2, \pi, 3\pi/2$.
3. $\cos 4 \theta = -1, \sin 4 \theta =0$より、 $\theta = \pi/4, 3\pi/4, 5\pi/4, 7\pi/4$.

問題2.9 以下の計算を行なえ。

1. $i^i =$

2. $\sqrt{i}=$

===== 解答 =====

1. $$\begin{eqnarray*} i^i = (e^{i\pi/2})^i = e^{-\pi/2} \end{eqnarray*}$$
   
   

2. $$\begin{eqnarray*} \sqrt{i}=(e^{i \pi/2})^{1/2} = e^{i \pi/4}=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i) \end{eqnarray*}$$
   
   

問題2.10 複素数関数 $f(z)=\sin z = (e^{iz}-e^{-iz})/2i$ について

1. $f(x+iy) = u(x,y)+iv(x,y)$としたときの$u,v$を求めよ。
2. $\vert\sin z\vert$を計算せよ。$\vert\sin z\vert>1$となる$z$は存在するか？
3. $\sin z=0$の方程式を解け。

===== 解答 =====

1. $$\begin{eqnarray*} \sin(x+iy) &=& \frac{e^{i(x+iy)}+e^{-i(x+iy)}}{2i} \\ &=& \frac{e^y+e^{-y}}{2}\sin x + i \frac{e^y-e^{-y}}{2}\cos x \end{eqnarray*}$$
   
   

2. $$\begin{eqnarray*} \vert\sin z\vert^2 &=& u^2+v^2 \\ &=& \frac{e^{2y}+2+e^{-2y}... ...\cos^2 x \\ &=& \sin^2 x+\left( \frac{e^y-e^{-y}}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$$
   
   
   $\sin x=\pm 1, y\ne 0$であれば、 $\vert\sin (x+iy)\vert> 1$となる。

3. $$\begin{eqnarray*} \frac{e^y+e^{-y}}{2}\sin x =0 \\ \frac{e^y-e^{-y}}{2}\cos x =0 \end{eqnarray*}$$
   
   
   でなければならない。 $\frac{e^y+e^{-y}}{2}>0$より$\sin x=0$でなければなら ない。一方、$\sin x=0$の場合、$\cos x \ne =0$である。従って、 $\frac{e^y-e^{-y}}{2}$でなければならない。すなわち、$y=0$である。

問題2.11 以下の関数の微分可能性について微分の定義に基づいて判定せよ。

1. $f(z)=z^*$
2. $f(z)=(z^*)^2$
3. $f(z)=e^z$

===== 解答 =====

1. $$\begin{eqnarray*} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(z+h)^*-z^*}{h} &=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h^*}{h} \\ &=& e^{-2i\theta} \end{eqnarray*}$$
   
   
   最後のところで、 $h=r e^{i\theta}$と置いた。$\theta$に依存するので、微分 可能ではない。

2. $$\begin{eqnarray*} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left((z+h)^*\right)^2-(z^*)^2}{h... ...h \rightarrow 0} \frac{2 z^* h^*}{h} \\ &=& 2 z^* e^{-2i\theta} \end{eqnarray*}$$
   
   
   最後のところで、 $h=r e^{i\theta}$と置いた。$\theta$に依存するので、微分 可能ではない。

3. $$\begin{eqnarray*} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{z+h}-e^{z}}{h} &=& \lim_{h \r... ...c{e^{h}-1}{h} \\ &=& \lim_{h \rightarrow 0} e^z e^h \\ &=& e^z \end{eqnarray*}$$
   
   
   従って、微分可能である。

問題2.12 以下の関数の微分可能性についてコーシー・リーマンの関係式から判定せよ。

1. $f(z)=z^*$
2. $f(z)=(z^*)^2$
3. $f(z)=e^z$

===== 解答 =====

1. $f(x+iy) = x-iy$すなわち、 $u(x,y)=x, v(x,y)=-y$である。
   $$\begin{eqnarray*} \frac{\partial u}{\partial x} = 1 \ne \frac{\partial v}{\partial y} = -1 \end{eqnarray*}$$
   
   
   よって、正則ではなく微分可能ではない。

2. $f(x+iy) = x^2+y^2-i2xy$すなわち、 $u(x,y)=x^2+y^2, v(x,y)=-2xy$である。
   $$\begin{eqnarray*} \frac{\partial u}{\partial x} = 2x &\ne& \frac{\partial v}{\partial y} = -2x \end{eqnarray*}$$
   
   
   よって、正則ではなく微分可能ではない。
3. $f(x+iy) = e^x \cos y+ ie^x \sin y$すなわち、 $u(x,y)=e^x\cos y, v(x,y)=e^x \sin y$である。
   $$\begin{eqnarray*} \frac{\partial u}{\partial x} = e^x \cos y &=& \frac{\partial... ...- e^x \sin y &=& - \frac{\partial v}{\partial x} = -e^x \sin y \end{eqnarray*}$$
   
   
   よって、正則であり微分可能である。

問題2.13 複素関数 $\sin z = (e^{iz}-e^{-iz})/2i, \cos z = (e^{iz}+e^{-iz})/2$につ いて

$$\frac{d \sin z}{dz} = \cos z, \frac{d \cos z}{dz}=-\sin z$$ (2.7)

であることを示せ。

===== 解答 =====

$$\begin{eqnarray*} \frac{d \sin z}{dz} &=& \frac{d}{dz}\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \\ &=& \frac{ie^{iz}+ie^{-iz}}{2i} \\ &=& \cos z \end{eqnarray*}$$

$d \cos z/dz$も同様に行う。

問題2.14

1. 以下の微分方程式（$y_0, k$は定数）
   
   $$\frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + y = y_0 e^{i k x}$$
   
   
   で $y = y_1 e^{i k x}$が解になるように、定数$y_1$を定めよ。

2. 以下の微分方程式（$y_0, \omega$は定数）
   
   $$\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} + \frac{\partial y}{\partial x} + y = y_0 e^{i \omega t}$$
   
   
   で $y = y_1 e^{i \omega t}$が解となるように定数$y_1$を定めよ。

===== 解答 =====

1. $$\begin{eqnarray*} y_1 (ik)^2 + y_1 (ik) + y_1 = y_0 \\ \Rightarrow y_1 = \frac{y_0}{-k^2+ik+1} \end{eqnarray*}$$
   
   

2. $y$ を$x$で偏微分してもゼロなので、
   $$\begin{eqnarray*} y = y_0e^{i \omega t} \\ \Rightarrow y_1=y_0 \end{eqnarray*}$$